Номер 5, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 5, страница 154.

Условие.

5. Постройте график функции $y = x^2 + 6x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = x^2 + 6x + 2$ проведем ее исследование.

Общая характеристика функции
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Нахождение вершины параболы
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
Для функции $y = x^2 + 6x + 2$ имеем $a = 1$, $b = 6$, $c = 2$.
$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
Подставим $x_0 = -3$ в уравнение функции, чтобы найти $y_0$:
$y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 2 = 9 - 18 + 2 = -7$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3, -7)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -3$.

Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (осью ординат), подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 2 = 2$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 2)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс), решим уравнение $y = 0$:
$x^2 + 6x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{28}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{7}}{2} = -3 - \sqrt{7} \approx -5.65$.
$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{28}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{7}}{2} = -3 + \sqrt{7} \approx -0.35$.
Точки пересечения с осью $Ox$ — $(-3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{7}, 0)$.

Нахождение дополнительных точек
Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек. Используем свойство симметрии параболы относительно оси $x = -3$.
Мы уже нашли точку $(0, 2)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-3$ имеет координаты $(-6, 2)$, так как $y(-6) = (-6)^2 + 6(-6) + 2 = 36-36+2=2$.
Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 2 = 1 - 6 + 2 = -3$. Получаем точку $(-1, -3)$.
Симметричная ей точка имеет координаты $(-5, -3)$, так как $y(-5) = (-5)^2 + 6(-5) + 2 = 25 - 30 + 2 = -3$.

Построение графика
На координатной плоскости отмечаем найденные ключевые точки: вершину $(-3, -7)$, точку пересечения с $Oy$ $(0, 2)$, точки пересечения с $Ox$ $(-3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{7}, 0)$, а также дополнительные точки, например, $(-1, -3)$ и симметричную ей $(-5, -3)$, и точку $(-6, 2)$, симметричную точке $(0, 2)$. Соединив эти точки плавной кривой, получаем искомый график параболы.

Ответ: График функции $y = x^2 + 6x + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(-3, -7)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 2)$ и ось $Ox$ в точках $(-3 - \sqrt{7}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{7}, 0)$.