Номер 26.5, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 26.5, страница 153.

Условие.

26.5 Коэффициент $k$ случайным образом выбирают из чисел $-2, -1, 1, 2, 3$. Какова вероятность того, что график функции $y = \frac{k}{x}$:

а) пересекает и первую, и вторую координатную четверть;

б) симметричен относительно начала координат;

в) проходит через точку $(-1, -2)$;

г) содержит ровно две точки с целочисленными координатами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Коэффициент $k$ выбирается случайным образом из 5 чисел: $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$. Следовательно, общее число равновероятных исходов $N=5$. Вероятность события A вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число благоприятных исходов.

а) пересекает и первую, и вторую координатную четверть;

График функции $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола. Расположение ее ветвей зависит от знака коэффициента $k$:
• Если $k > 0$ (значения $1, 2, 3$), ветви расположены в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$ (значения $-2, -1$), ветви расположены в II и IV координатных четвертях.
Таким образом, ни при каком значении $k$ из заданного множества график не может одновременно пересекать I и II четверти. Число благоприятных исходов $m=0$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{0}{5} = 0$.
Ответ: $0$.

б) симметричен относительно начала координат;

График функции является симметричным относительно начала координат, если функция является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$.
Проверим это для функции $f(x) = \frac{k}{x}$:
$f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x)$.
Данное равенство справедливо для любого ненулевого значения $k$. Все 5 предложенных значений $k$ не равны нулю, поэтому все они являются благоприятными исходами. Число благоприятных исходов $m=5$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{5}{5} = 1$.
Ответ: $1$.

в) проходит через точку (–1, –2);

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через точку с координатами $(-1, -2)$, эти координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x=-1$ и $y=-2$ в уравнение:
$-2 = \frac{k}{-1}$
Отсюда находим $k$:
$k = (-2) \cdot (-1) = 2$.
Значение $k=2$ присутствует в исходном множестве $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$. Это единственный благоприятный исход. Число благоприятных исходов $m=1$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

г) содержит ровно две точки с целочисленными координатами?

Точки с целочисленными координатами $(x, y)$ на графике функции $y = \frac{k}{x}$ должны удовлетворять равенству $x \cdot y = k$. Это означает, что их координаты $x$ и $y$ должны быть целыми числами, а значит, $x$ должен быть целым делителем числа $k$. Каждому такому делителю $x$ соответствует целочисленное значение $y$. Следовательно, количество точек с целочисленными координатами на графике равно количеству целых делителей числа $k$.
Нам нужно найти те значения $k$, которые имеют ровно два целых делителя. Единственные целые числа, имеющие ровно два целых делителя, — это $1$ и $-1$ (их делители: $\pm 1$).
Рассмотрим все возможные значения $k$ из заданного множества:
• При $k=-2$ целые делители: $\{-2, -1, 1, 2\}$ — 4 делителя, 4 точки.
• При $k=-1$ целые делители: $\{-1, 1\}$ — 2 делителя, 2 точки. Это благоприятный исход.
• При $k=1$ целые делители: $\{-1, 1\}$ — 2 делителя, 2 точки. Это благоприятный исход.
• При $k=2$ целые делители: $\{-2, -1, 1, 2\}$ — 4 делителя, 4 точки.
• При $k=3$ целые делители: $\{-3, -1, 1, 3\}$ — 4 делителя, 4 точки.
Таким образом, благоприятными являются два исхода: $k=1$ и $k=-1$. Число благоприятных исходов $m=2$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.