Номер 26.1, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 26.1, страница 152.

Условие.

26.1 Нарисуйте график функции $y = 0,5x^2$ на отрезке $[0; 4]$. Сколько точек с целыми координатами:

а) принадлежит этому графику;

б) лежит ниже графика и выше оси абсцисс;

в) лежит выше графика и ниже прямой $y = 5$;

г) лежит ниже графика и выше прямой $y = 0,5x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Задача состоит в том, чтобы найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, удовлетворяющих определенным условиям. Рассматривается функция $y = 0,5x^2$ на отрезке $[0; 4]$, поэтому для абсциссы $x$ мы будем рассматривать только целые значения из этого отрезка: $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

а) принадлежит этому графику;

Нам нужно найти количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $y = 0,5x^2$. Для того чтобы $y$ был целым, $x^2$ должно быть четным числом. Проверим все возможные целые значения $x$ из отрезка $[0; 4]$:

• Если $x=0$, то $y = 0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0) имеет целые координаты.
• Если $x=1$, то $y = 0,5 \cdot 1^2 = 0,5$. Координата $y$ не является целым числом.
• Если $x=2$, то $y = 0,5 \cdot 2^2 = 2$. Точка (2, 2) имеет целые координаты.
• Если $x=3$, то $y = 0,5 \cdot 3^2 = 4,5$. Координата $y$ не является целым числом.
• Если $x=4$, то $y = 0,5 \cdot 4^2 = 8$. Точка (4, 8) имеет целые координаты.

Таким образом, на графике лежат 3 точки с целыми координатами: (0, 0), (2, 2), (4, 8).

Ответ: 3.

б) лежит ниже графика и выше оси абсцисс;

Ищем количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 < y < 0,5x^2$ для целых $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• При $x=0$: $0 < y < 0$. Нет целых $y$.
• При $x=1$: $0 < y < 0,5$. Нет целых $y$.
• При $x=2$: $0 < y < 2$. Есть одно целое значение $y=1$. Это 1 точка (2, 1).
• При $x=3$: $0 < y < 4,5$. Есть четыре целых значения $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. Это 4 точки.
• При $x=4$: $0 < y < 8$. Есть семь целых значений $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Это 7 точек.

Общее число точек: $1 + 4 + 7 = 12$.

Ответ: 12.

в) лежит выше графика и ниже прямой $y = 5$;

Ищем количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0,5x^2 < y < 5$ для целых $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• При $x=0$: $0 < y < 5$. Целые значения $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. Это 4 точки.
• При $x=1$: $0,5 < y < 5$. Целые значения $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. Это 4 точки.
• При $x=2$: $2 < y < 5$. Целые значения $y \in \{3, 4\}$. Это 2 точки.
• При $x=3$: $4,5 < y < 5$. Нет целых $y$.
• При $x=4$: $8 < y < 5$. Неравенство неверно, решений нет.

Общее число точек: $4 + 4 + 2 = 10$.

Ответ: 10.

г) лежит ниже графика и выше прямой $y = 0,5x$?

Ищем количество точек с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0,5x < y < 0,5x^2$ для целых $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

• При $x=0$: $0 < y < 0$. Нет целых $y$.
• При $x=1$: $0,5 < y < 0,5$. Нет целых $y$.
• При $x=2$: $1 < y < 2$. Нет целых $y$.
• При $x=3$: $1,5 < y < 4,5$. Целые значения $y \in \{2, 3, 4\}$. Это 3 точки.
• При $x=4$: $2 < y < 8$. Целые значения $y \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$. Это 5 точек.

Общее число точек: $3 + 5 = 8$.

Ответ: 8.