Номер 25.20, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.20, страница 151.

Условие.

25.20 Длина забора, огораживающего участок прямоугольной формы, равна $20 \text{ м}$. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет $24 \text{ м}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений, основанную на формулах периметра и площади прямоугольника.

Пусть $l$ — длина прямоугольного участка в метрах, а $w$ — его ширина в метрах.

Длина забора — это периметр прямоугольника ($P$). Формула для периметра: $P = 2(l + w)$.
Согласно условию, $P = 20$ м. Подставим это значение в формулу:
$2(l + w) = 20$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы его упростить:
$l + w = 10$

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.
Согласно условию, $S = 24$ м². Подставим это значение:
$l \cdot w = 24$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$l + w = 10$
$l \cdot w = 24$

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $l$ из первого уравнения:
$l = 10 - w$

Теперь подставим полученное выражение для $l$ во второе уравнение системы:
$(10 - w) \cdot w = 24$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения ($ax^2 + bx + c = 0$):
$10w - w^2 = 24$
$0 = w^2 - 10w + 24$
$w^2 - 10w + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать через дискриминант или по теореме Виета.
По теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $w$ с противоположным знаком (т.е. 10), а произведение равно свободному члену (т.е. 24). Этими числами являются 4 и 6, поскольку $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.
Через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$
$w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2}{2}$
$w_1 = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$w_2 = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для сторон участка: 4 м и 6 м. Если ширина равна 4 м, то длина $l = 10 - 4 = 6$ м. Если ширина равна 6 м, то длина $l = 10 - 6 = 4$ м. В обоих случаях мы получаем одни и те же размеры.

Ответ: длина участка равна 6 м, а ширина — 4 м.