Номер 25.23, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.23, страница 152.

Условие.

25.23 Найдите обыкновенную дробь, если известно, что её числитель на 2 меньше знаменателя, а произведение числителя и знаменателя равно 15.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть числитель искомой обыкновенной дроби равен $x$, а знаменатель равен $y$. Таким образом, дробь можно записать в виде $\frac{x}{y}$.

Согласно условию задачи, числитель на 2 меньше знаменателя. Это можно выразить уравнением:
$x = y - 2$

Также по условию, произведение числителя и знаменателя равно 15. Это дает нам второе уравнение:
$x \cdot y = 15$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = y - 2 \\ x \cdot y = 15 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(y - 2) \cdot y = 15$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:
$y^2 - 2y = 15$
$y^2 - 2y - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Теперь найдем корни уравнения для $y$:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2}$
Получаем два возможных значения для знаменателя:
$y_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Рассмотрим оба случая:
1. Если знаменатель $y = 5$, то найдем соответствующий числитель $x$:
$x = y - 2 = 5 - 2 = 3$
Получаем дробь $\frac{3}{5}$. Проверим: числитель (3) на 2 меньше знаменателя (5), и их произведение $3 \cdot 5 = 15$. Условия выполняются.
2. Если знаменатель $y = -3$, то числитель $x$:
$x = y - 2 = -3 - 2 = -5$
Получаем дробь $\frac{-5}{-3}$, что равно $\frac{5}{3}$. Это решение также удовлетворяет системе уравнений, однако в задачах про "обыкновенные дроби" обычно подразумеваются натуральные числитель и знаменатель.

Таким образом, искомая обыкновенная дробь — это $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$