Номер 26.2, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 26.2, страница 152.

Условие.

26.2 Сколько точек, координаты которых — натуральные числа, лежит на графике функции:

а) $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{5}{x}$;

в) $y = \frac{6}{x}$;

г) $y = \frac{12}{x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы найти количество точек с натуральными координатами $(x, y)$ на графике функции вида $y = \frac{k}{x}$, необходимо найти количество натуральных делителей числа $k$. Каждому такому делителю $x$ будет соответствовать натуральное число $y = \frac{k}{x}$, и пара $(x, y)$ будет искомой точкой.

а) Для функции $y = \frac{1}{x}$, мы ищем точки, где $x$ и $y$ — натуральные числа. Это возможно только если $x$ является натуральным делителем числа 1. Единственный натуральный делитель числа 1 — это 1.
Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{1} = 1$.
Получаем одну точку с натуральными координатами: $(1, 1)$.
Ответ: 1.

б) Для функции $y = \frac{5}{x}$, координата $x$ должна быть натуральным делителем числа 5. Число 5 является простым, поэтому у него всего два натуральных делителя: 1 и 5.
1. При $x = 1$, $y = \frac{5}{1} = 5$. Точка $(1, 5)$.
2. При $x = 5$, $y = \frac{5}{5} = 1$. Точка $(5, 1)$.
Всего существует две такие точки.
Ответ: 2.

в) Для функции $y = \frac{6}{x}$, координата $x$ должна быть натуральным делителем числа 6. Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого делителя:
- при $x = 1$, $y = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(1, 6)$.
- при $x = 2$, $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(2, 3)$.
- при $x = 3$, $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка $(3, 2)$.
- при $x = 6$, $y = \frac{6}{6} = 1$. Точка $(6, 1)$.
Всего получается 4 точки с натуральными координатами.
Ответ: 4.

г) Для функции $y = \frac{12}{x}$, координата $x$ должна быть натуральным делителем числа 12. Натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Найдем соответствующие значения $y$:
- при $x = 1$, $y = \frac{12}{1} = 12$. Точка $(1, 12)$.
- при $x = 2$, $y = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(2, 6)$.
- при $x = 3$, $y = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3, 4)$.
- при $x = 4$, $y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4, 3)$.
- при $x = 6$, $y = \frac{12}{6} = 2$. Точка $(6, 2)$.
- при $x = 12$, $y = \frac{12}{12} = 1$. Точка $(12, 1)$.
Всего существует 6 точек с натуральными координатами.
Ответ: 6.