Номер 25.19, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.19, страница 151.

Условие.

25.19 При каких значениях p уравнение $x^2 + 6x + 8 = p$:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $p$ уравнение имеет определенное количество корней, необходимо привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и исследовать знак его дискриминанта $D$.

Исходное уравнение: $x^2 + 6x + 8 = p$.

Перенесем $p$ в левую часть уравнения:

$x^2 + 6x + 8 - p = 0$.

Теперь это квадратное уравнение стандартного вида, где коэффициенты равны:

$a = 1$, $b = 6$, $c = 8 - p$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - p) = 36 - 4(8 - p) = 36 - 32 + 4p = 4 + 4p$.

Количество корней уравнения зависит от знака дискриминанта. Рассмотрим каждый из требуемых случаев.

а) не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$).

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 + 4p < 0$

$4p < -4$

$p < -1$

Ответ: при $p < -1$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$).

Составим и решим соответствующее уравнение:

$4 + 4p = 0$

$4p = -4$

$p = -1$

Ответ: при $p = -1$.

в) имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 + 4p > 0$

$4p > -4$

$p > -1$

Ответ: при $p > -1$.