Номер 25.14, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.14, страница 151.

Условие.

25.14 a) $-2x^2 - 7x + 3 = 0;$

б) $-x^2 + 4x - 4 = 0;$

в) $2x^2 + 5x + 5 = 0;$

г) $2x^2 - 5x - 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения квадратного уравнения $-2x^2 - 7x + 3 = 0$ сначала умножим обе части на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным. Получим эквивалентное уравнение: $2x^2 + 7x - 3 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=7$, $c=-3$. Вычислим дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{4}$. Таким образом, получаем два корня: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{4}$ и $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{4}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{4}$, $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{4}$.

б) Рассмотрим уравнение $-x^2 + 4x - 4 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$: $x^2 - 4x + 4 = 0$. Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Получаем уравнение $(x-2)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. В качестве альтернативы можно использовать дискриминант для уравнения $x^2 - 4x + 4 = 0$, где $a=1$, $b=-4$, $c=4$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$. Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который вычисляется по формуле $x = \frac{-b}{2a}$: $x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $x=2$.

в) Решим уравнение $2x^2 + 5x + 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=5$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 25 - 40 = -15$. Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

г) Решим уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Вычислим каждый корень отдельно: $x_1 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$. $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Ответ: $x_1 = -0.5$, $x_2 = 3$.