Номер 25.10, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.10, страница 151.

Условие.

25.10 Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен $14 \text{ дм}$, а площадь равна $12 \text{ дм}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ в дециметрах.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а площадь $S$ — по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, периметр равен 14 дм, а площадь — 12 дм². Мы можем составить систему уравнений:
$\begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:
$a + b = 7$

Теперь наша система уравнений выглядит так:
$\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Эту систему можно решить, составив квадратное уравнение, корнями которого являются искомые стороны $a$ и $b$. Согласно обратной теореме Виета, если сумма двух чисел равна 7, а их произведение равно 12, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни уравнения — это 3 и 4. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 дм и 4 дм.

Проведем проверку:
Периметр: $P = 2(3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ дм.
Площадь: $S = 3 \cdot 4 = 12$ дм².
Полученные значения соответствуют условиям задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 дм и 4 дм.