Номер 25.4, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.4, страница 150.

Условие.

Решите графически уравнение:

25.4 a) $x^2 + 2x - 3 = 0$;

б) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

в) $x^2 + 4x - 5 = 0$;

г) $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Для графического решения уравнения построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат. При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -3)$. Точки пересечения с осью $Ox$ являются корнями уравнения. Построив график, мы находим абсциссы точек, в которых $y=0$.

Для точности построения найдем еще несколько точек. Возьмем $x=1$:
$y(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Точка $(1, 0)$.
Возьмем $x=-3$:
$y(-3) = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

График функции $y = x^2 + 2x - 3$ — это парабола, проходящая через точки $(-3, 0)$, $(-1, -4)$ и $(1, 0)$. Она пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны $-3$ и $1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.

б) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Построим график функции $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Найдем точку пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции):
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x=3$, $y = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(3, 0)$. График пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны $1$ и $3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

в) $x^2 + 4x - 5 = 0$

Построим график функции $y = x^2 + 4x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями. При $x=0$, $y = -5$. Точка пересечения с $Oy$ — $(0, -5)$.
Найдем нули функции:
При $x=1$, $y = 1^2 + 4(1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x=-5$, $y = (-5)^2 + 4(-5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0$. Точка $(-5, 0)$.

График функции $y = x^2 + 4x - 5$ представляет собой параболу, проходящую через точки $(-5, 0)$, $(-2, -9)$ и $(1, 0)$. Парабола пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $-5$ и $1$.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 1$.

г) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Построим график функции $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1$).

Найдем координаты вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
Вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.

Найдем точки пересечения с осями.
При $x=0$, $y=-3$. Точка пересечения с $Oy$ — $(0, -3)$.
Найдем нули функции:
При $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
При $x=3$, $y = 3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ проходит через точки $(-1, 0)$, $(1, -4)$ и $(3, 0)$. График пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны $-1$ и $3$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.