Номер 24.55, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.55, страница 149.

Условие.

24.55 График какой квадратичной функции проходит через точки A$(2; 3)$, B$(0; 1)$, C$(3; 2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Искомая квадратичная функция имеет общий вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — это коэффициенты, которые необходимо найти. Поскольку график функции проходит через заданные точки, их координаты должны удовлетворять этому уравнению.

Подставим координаты каждой из точек A(2; 3), B(0; 1) и C(3; 2) в уравнение функции, чтобы составить систему уравнений.

1. Для точки A(2; 3):
$3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$
$4a + 2b + c = 3$

2. Для точки B(0; 1):
$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = 1$

3. Для точки C(3; 2):
$2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$
$9a + 3b + c = 2$

В результате мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} 4a + 2b + c = 3 \\ c = 1 \\ 9a + 3b + c = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения системы мы сразу находим значение коэффициента $c = 1$. Подставим это значение в первое и третье уравнения:

$4a + 2b + 1 = 3 \implies 4a + 2b = 2 \implies 2a + b = 1$
$9a + 3b + 1 = 2 \implies 9a + 3b = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases} 2a + b = 1 \\ 9a + 3b = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = 1 - 2a$

Подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение системы:
$9a + 3(1 - 2a) = 1$
$9a + 3 - 6a = 1$
$3a = 1 - 3$
$3a = -2$
$a = -\frac{2}{3}$

Теперь найдем значение $b$, подставив найденное значение $a$ в выражение $b = 1 - 2a$:
$b = 1 - 2(-\frac{2}{3}) = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = -\frac{2}{3}$, $b = \frac{7}{3}$, $c = 1$. Подставим эти значения в общее уравнение квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{7}{3}x + 1$