Номер 25.5, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.5, страница 150.

Условие.

25.5 a) $x^2 - x - 2 = 0$;

б) $x^2 - 3x - 4 = 0$;

в) $x^2 + 3x + 2 = 0$;

г) $x^2 + x - 6 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) $x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-1$, $c=-2$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Для проверки можно воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=-1, q=-2$.

Сумма корней: $2 + (-1) = 1$. По теореме Виета: $-p = -(-1) = 1$. Верно.

Произведение корней: $2 \cdot (-1) = -2$. По теореме Виета: $q = -2$. Верно.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.

б) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Проверка по теореме Виета. В уравнении $x^2 - 3x - 4 = 0$ коэффициенты $p=-3, q=-4$.

Сумма корней: $4 + (-1) = 3$. По теореме Виета: $-p = -(-3) = 3$. Верно.

Произведение корней: $4 \cdot (-1) = -4$. По теореме Виета: $q = -4$. Верно.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -1$.

в) $x^2 + 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=3$, $c=2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Проверка по теореме Виета. В уравнении $x^2 + 3x + 2 = 0$ коэффициенты $p=3, q=2$.

Сумма корней: $(-1) + (-2) = -3$. По теореме Виета: $-p = -3$. Верно.

Произведение корней: $(-1) \cdot (-2) = 2$. По теореме Виета: $q = 2$. Верно.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -2$.

г) $x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверка по теореме Виета. В уравнении $x^2 + x - 6 = 0$ коэффициенты $p=1, q=-6$.

Сумма корней: $2 + (-3) = -1$. По теореме Виета: $-p = -1$. Верно.

Произведение корней: $2 \cdot (-3) = -6$. По теореме Виета: $q = -6$. Верно.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -3$.