Номер 25.1, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.1, страница 150.

Условие.

Решите уравнение двумя способами — графическим и аналитическим:

25.1 а) $x^2 - 2x = 0;$
б) $-x^2 + 6x = 0;$
в) $x^2 + 4x = 0;$
г) $-x^2 - 8x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 2x = 0$

Графический способ:

Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^2 - 2x$ с осью абсцисс (Ox). График данной функции — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = (1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, приравняв $y$ к нулю. Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Следовательно, это и есть корни уравнения.

Аналитический способ:

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$x = 0$ или $x - 2 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 2$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

б) $-x^2 + 6x = 0$

Графический способ:

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 6x$. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$

$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9$

Вершина параболы находится в точке $(3; 9)$.

Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны 0 и 6.

Аналитический способ:

Решим неполное квадратное уравнение $-x^2 + 6x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-x + 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $-x + 6 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 6$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

Ответ: $0; 6$.

в) $x^2 + 4x = 0$

Графический способ:

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$

$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$

Вершина параболы находится в точке $(-2; -4)$.

Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны -4 и 0.

Аналитический способ:

Решим неполное квадратное уравнение $x^2 + 4x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 4 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -4$.

Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$.

Ответ: $-4; 0$.

г) $-x^2 - 8x = 0$

Графический способ:

Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 8x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$). Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{-2} = -4$

$y_0 = -(-4)^2 - 8 \cdot (-4) = -16 + 32 = 16$

Вершина параболы находится в точке $(-4; 16)$.

Построив график, мы видим, что он пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых равны -8 и 0.

Аналитический способ:

Решим неполное квадратное уравнение $-x^2 - 8x = 0$. Умножим обе части на -1:

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 8) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 8 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -8$.

Корни уравнения: $x_1 = -8$, $x_2 = 0$.

Ответ: $-8; 0$.