Номер 24.49, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.49, страница 149.

Условие.

24.49 При каком значении коэффициента $c$ вершина параболы $y = x^2 + 6x + c$ находится на расстоянии 5 от начала координат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 + 6x + c$. Это квадратичная функция общего вида $y = ax^2 + bx + c$, где в нашем случае коэффициенты равны $a=1$ и $b=6$.

Для начала найдем координаты вершины параболы, которые обозначим как $(x_v, y_v)$. Абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле:

$x_v = - \frac{b}{2a}$

Подставим значения коэффициентов $a=1$ и $b=6$ в эту формулу:

$x_v = - \frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

Теперь найдем ординату (координату y) вершины, подставив найденное значение $x_v = -3$ в исходное уравнение параболы:

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) + c = 9 - 18 + c = c - 9$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $V(-3, c - 9)$.

Согласно условию задачи, расстояние от этой вершины до начала координат, точки $O(0, 0)$, должно быть равно 5. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Подставим координаты вершины $V(-3, c-9)$ и начала координат $O(0, 0)$, а также заданное расстояние $d=5$:

$5 = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (c - 9 - 0)^2}$

$5 = \sqrt{(-3)^2 + (c - 9)^2}$

$5 = \sqrt{9 + (c - 9)^2}$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня и решить уравнение относительно $c$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$5^2 = (\sqrt{9 + (c - 9)^2})^2$

$25 = 9 + (c - 9)^2$

Теперь выразим скобку с неизвестной:

$(c - 9)^2 = 25 - 9$

$(c - 9)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем два возможных варианта:

1) $c - 9 = \sqrt{16} \implies c - 9 = 4 \implies c = 13$

2) $c - 9 = -\sqrt{16} \implies c - 9 = -4 \implies c = 5$

Следовательно, мы нашли два значения коэффициента $c$, при которых выполняется условие задачи.

Ответ: 5 или 13.