Номер 24.47, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.47, страница 149.

Условие.

24.47 а) Используя графики функций $y = x^2 - 2x - 1$ и $y = -\frac{2}{x}$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $x^2 - 2x - 1 < -\frac{2}{x}$.

б) Используя графики функций $y = -x^2 + 6x - 3$ и $y = \frac{6}{x - 2}$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $-x^2 + 6x - 3 > \frac{6}{x - 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения неравенства $x^2 - 2x - 1 < -\frac{2}{x}$ графическим методом необходимо построить графики функций $y_1 = x^2 - 2x - 1$ и $y_2 = -\frac{2}{x}$ в одной системе координат и определить, на каких интервалах график $y_1$ лежит ниже графика $y_2$.

1. Построение графика функции $y_1 = x^2 - 2x - 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_в = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$.
Найдем несколько дополнительных точек:
При $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 2$.
При $x=0$, $y = -1$.
При $x=2$, $y = 2^2 - 2(2) - 1 = -1$.

2. Построение графика функции $y_2 = -\frac{2}{x}$.
Это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Ее асимптоты — оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Найдем несколько точек:
При $x=-1$, $y = -\frac{2}{-1} = 2$.
При $x=1$, $y = -\frac{2}{1} = -2$.
При $x=2$, $y = -\frac{2}{2} = -1$.
При $x=-2$, $y = -\frac{2}{-2} = 1$.

3. Анализ графиков.
Построив графики, мы можем найти их точки пересечения. Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с абсциссами $x=-1$, $x=1$ и $x=2$.
Неравенство $y_1 < y_2$ выполняется на тех интервалах оси $x$, где график параболы расположен ниже графика гиперболы.
Рассматривая интервалы, ограниченные точками пересечения и асимптотой $x=0$, получаем:

• На интервале $(-\infty, -1)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(-1, 0)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(0, 1)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(1, 2)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(2, +\infty)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).

Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-1, 0) \cup (1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, 2)$.

б)

Для решения неравенства $-x^2 + 6x - 3 > \frac{6}{x-2}$ графическим методом необходимо построить графики функций $y_1 = -x^2 + 6x - 3$ и $y_2 = \frac{6}{x-2}$ в одной системе координат и определить, на каких интервалах график $y_1$ лежит выше графика $y_2$.

1. Построение графика функции $y_1 = -x^2 + 6x - 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 3 = -9 + 18 - 3 = 6$.
Вершина параболы находится в точке $(3, 6)$.
Найдем несколько дополнительных точек:
При $x=0$, $y = -3$.
При $x=2$, $y = -(2)^2 + 6(2) - 3 = 5$.
При $x=5$, $y = -(5)^2 + 6(5) - 3 = 2$.

2. Построение графика функции $y_2 = \frac{6}{x-2}$.
Это гипербола, смещенная на 2 единицы вправо относительно графика $y=\frac{6}{x}$. Ее асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=0$.
Найдем несколько точек:
При $x=0$, $y = \frac{6}{0-2} = -3$.
При $x=3$, $y = \frac{6}{3-2} = 6$.
При $x=5$, $y = \frac{6}{5-2} = 2$.
При $x=8$, $y = \frac{6}{8-2} = 1$.

3. Анализ графиков.
Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с абсциссами $x=0$, $x=3$ и $x=5$.
Неравенство $y_1 > y_2$ выполняется на тех интервалах оси $x$, где график параболы расположен выше графика гиперболы.
Рассматривая интервалы, ограниченные точками пересечения и асимптотой $x=2$, получаем:

• На интервале $(-\infty, 0)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(0, 2)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(2, 3)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).
• На интервале $(3, 5)$ парабола выше гиперболы ($y_1 > y_2$).
• На интервале $(5, +\infty)$ парабола ниже гиперболы ($y_1 < y_2$).

Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (0, 2) \cup (3, 5)$.

Ответ: $x \in (0, 2) \cup (3, 5)$.