Номер 24.44, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.44, страница 148.

Условие.

24.44 $y = \begin{cases} -3x^2 + 6x + 4, & \text{если } 0 \le x \le 2; \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

Анализ функции $y = -3x^2 + 6x + 4$ на отрезке $0 \le x \le 2$

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-3$).

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1$.

Значение $x_v = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$, поэтому на этом отрезке функция достигает своего максимума в вершине.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 1$ в уравнение функции:

$y_v = -3(1)^2 + 6(1) + 4 = -3 + 6 + 4 = 7$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.

Теперь найдем значения функции на концах отрезка $[0, 2]$:

При $x = 0$: $y(0) = -3(0)^2 + 6(0) + 4 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.

При $x = 2$: $y(2) = -3(2)^2 + 6(2) + 4 = -3 \cdot 4 + 12 + 4 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.

Следовательно, на отрезке $[0, 2]$ мы строим часть параболы с вершиной в $(1, 7)$ и концами в точках $(0, 4)$ и $(2, 4)$. Эти точки включаются в график.

Анализ функции $y = \frac{4}{x}$ на полуинтервале $2 < x \le 4$

Графиком этой функции является гипербола. Так как на заданном промежутке $x > 0$, мы рассматриваем ветвь в первой координатной четверти. Эта функция является убывающей.

Найдем значения функции на концах интервала $(2, 4]$:

При $x \to 2^+$ (точка не включается в график, "выколотая" точка): $y \to \frac{4}{2} = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.

При $x = 4$ (точка включается в график): $y(4) = \frac{4}{4} = 1$. Получаем точку $(4, 1)$.

На полуинтервале $(2, 4]$ мы строим часть гиперболы, которая начинается из выколотой точки $(2, 2)$ и заканчивается в точке $(4, 1)$.

Построение графика и свойства функции

Совместим оба графика на одной координатной плоскости. График состоит из дуги параболы и ветви гиперболы. В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x \to 2^-} y(x) = 4$, а $\lim_{x \to 2^+} y(x) = 2$. Значение функции в этой точке определено первым выражением: $y(2)=4$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [0, 4]$.
• Область значений: $E(y) = [1, 2) \cup [4, 7]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, 1]$.
• Функция убывает на промежутках $[1, 2]$ и $(2, 4]$.
• Наибольшее значение функции: $y_{max} = 7$ (достигается при $x=1$).
• Наименьшее значение функции: $y_{min} = 1$ (достигается при $x=4$).
• Нулей у функции нет ($y > 0$ на всей области определения).

Ответ: Был проведен детальный анализ и дано описание построения графика кусочно-заданной функции. График состоит из участка параболы $y=-3x^2+6x+4$ на отрезке $[0, 2]$ (дуга с вершиной в $(1, 7)$ и концами в $(0, 4)$ и $(2, 4)$) и участка гиперболы $y=4/x$ на полуинтервале $(2, 4]$ (от выколотой точки $(2, 2)$ до точки $(4, 1)$). В точке $x=2$ функция имеет разрыв. Основные свойства функции (область определения, область значений, монотонность, экстремумы) найдены.