Номер 24.39, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.39, страница 148.

Условие.

24.39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. При каком значении аргумента выполняется равенство $f(2x + 3) = 4f(x - 2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. Требуется найти значение аргумента $x$, при котором выполняется равенство $f(2x + 3) = 4f(x - 2)$.

Для решения этой задачи мы последовательно найдем выражения для левой и правой частей равенства.

1. Найдем выражение для левой части $f(2x + 3)$.

Для этого подставим $(2x + 3)$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(2x + 3) = -(2x + 3)^2 + 4(2x + 3) - 3$

Раскроем скобки и упростим выражение. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$f(2x + 3) = -( (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 ) + (8x + 12) - 3$

$f(2x + 3) = -(4x^2 + 12x + 9) + 8x + 12 - 3$

$f(2x + 3) = -4x^2 - 12x - 9 + 8x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$f(2x + 3) = -4x^2 + (-12x + 8x) + (-9 + 9)$

$f(2x + 3) = -4x^2 - 4x$

2. Найдем выражение для правой части $4f(x - 2)$.

Сначала найдем $f(x - 2)$, подставив $(x - 2)$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(x - 2) = -(x - 2)^2 + 4(x - 2) - 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$f(x - 2) = -(x^2 - 4x + 4) + (4x - 8) - 3$

$f(x - 2) = -x^2 + 4x - 4 + 4x - 8 - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$f(x - 2) = -x^2 + (4x + 4x) + (-4 - 8 - 3)$

$f(x - 2) = -x^2 + 8x - 15$

Теперь умножим полученное выражение на 4:

$4f(x - 2) = 4(-x^2 + 8x - 15)$

$4f(x - 2) = -4x^2 + 32x - 60$

3. Приравняем левую и правую части и решим уравнение.

$f(2x + 3) = 4f(x - 2)$

$-4x^2 - 4x = -4x^2 + 32x - 60$

Прибавим $4x^2$ к обеим частям уравнения:

$-4x = 32x - 60$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые значения оставим в правой:

$-4x - 32x = -60$

$-36x = -60$

Найдем $x$, разделив обе части на -36:

$x = \frac{-60}{-36} = \frac{60}{36}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 60 и 36 равен 12:

$x = \frac{60 \div 12}{36 \div 12} = \frac{5}{3}$

Таким образом, равенство выполняется при $x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.