Номер 24.32, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.32, страница 147.

Условие.

24.32 Докажите, что функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы доказать, что функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Использование свойств квадратичной функции

Данная функция $y = x^2 + 6x - 7$ является квадратичной ($y = ax^2 + bx + c$), где $a=1$, $b=6$, $c=-7$. Её график — парабола. Поскольку старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке левее вершины и возрастает правее неё. Абсцисса вершины параболы ($x_в$) вычисляется по формуле:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

Следовательно, функция убывает на всём промежутке $(-\infty; -3)$. Промежуток $(-8; -5)$, указанный в условии, полностью входит в промежуток убывания $(-\infty; -3)$, так как для любой точки $x$ из $(-8; -5)$ выполняется неравенство $x < -3$. Таким образом, функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$.

Способ 2: Использование определения убывающей функции

Функция $y(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмём произвольные $x_1, x_2 \in (-8; -5)$, для которых $x_1 < x_2$. Докажем, что $y(x_1) > y(x_2)$:

$x_1^2 + 6x_1 - 7 > x_2^2 + 6x_2 - 7$

$x_1^2 - x_2^2 + 6x_1 - 6x_2 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 6(x_1 - x_2) > 0$

$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6) > 0$

Оценим знаки получившихся множителей.
1. Так как по определению $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ является отрицательным числом.
2. Так как $-8 < x_1 < -5$ и $-8 < x_2 < -5$, то их сумма находится в пределах $-16 < x_1 + x_2 < -10$. Тогда выражение $x_1 + x_2 + 6$ находится в пределах $-16+6 < x_1 + x_2 + 6 < -10+6$, то есть $-10 < x_1 + x_2 + 6 < -4$. Следовательно, второй множитель $(x_1 + x_2 + 6)$ также является отрицательным числом.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, неравенство $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6) > 0$ является верным. Это доказывает, что функция убывает на заданном промежутке.

Способ 3: С помощью производной

Функция является убывающей на интервале, если её первая производная отрицательна на всём этом интервале. Найдём производную функции $y = x^2 + 6x - 7$:

$y'(x) = (x^2 + 6x - 7)' = 2x + 6$

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная отрицательна:

$y' < 0 \implies 2x + 6 < 0 \implies 2x < -6 \implies x < -3$

Производная отрицательна при $x \in (-\infty; -3)$. Промежуток $(-8; -5)$ является подмножеством этого интервала, поэтому на всём промежутке $(-8; -5)$ производная отрицательна, а значит, функция убывает.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $y = x^2 + 6x - 7$ является убывающей на промежутке $(-8; -5)$.