Номер 24.31, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.31, страница 147.

Условие.

24.31 Докажите, что функция $y = x^2 - 4x + 5$ является возрастающей на промежутке $(3; 12)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства того, что функция $y = x^2 - 4x + 5$ является возрастающей на промежутке $(3; 12)$, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование свойств квадратичной функции (параболы)

Функция $y = x^2 - 4x + 5$ является квадратичной, и её график — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

У параболы с ветвями вверх есть точка минимума — вершина. До вершины функция убывает, после — возрастает. Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; \infty)$.

Интервал $(3; 12)$, указанный в задаче, полностью находится внутри промежутка возрастания $[2; \infty)$, так как для любой точки $x \in (3; 12)$ выполняется неравенство $x > 2$. Следовательно, на всём промежутке $(3; 12)$ функция является возрастающей.

Способ 2: Использование производной

Функция является возрастающей на интервале, если её производная на этом интервале положительна ($y' > 0$).

Найдём производную функции $y = x^2 - 4x + 5$:

$y' = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$

Определим, при каких значениях $x$ производная положительна:

$2x - 4 > 0$

$2x > 4$

$x > 2$

Производная функции положительна при $x > 2$, что означает, что функция возрастает на промежутке $(2; \infty)$.

Поскольку промежуток $(3; 12)$ является подмножеством промежутка $(2; \infty)$, функция возрастает на промежутке $(3; 12)$.

Оба способа доказывают исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Вершина параболы находится в точке $x=2$, а производная $y' = 2x-4$ положительна при $x>2$. Так как промежуток $(3; 12)$ лежит правее точки $x=2$, функция на этом промежутке является возрастающей.