Номер 24.25, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.25, страница 146.

Условие.

24.25 Используя график функции $y = 2x^2 + 8x + 6$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $y \ge 0;$

б) $y < 6;$

в) $y < 0;$

г) $y \ge 6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем функцию $y = 2x^2 + 8x + 6$ и определим ключевые особенности её графика, так как он не представлен.

Графиком данной функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $a=2$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

1. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.

Ордината вершины: $y_в = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, -2)$. Это точка минимума функции.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox) решим уравнение $y=0$:

$2x^2 + 8x + 6 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Корни данного квадратного уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 2(0)^2 + 8(0) + 6 = 6$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 6)$.

Используя эти данные, определим решения для каждого неравенства.

а) $y \ge 0$

Неравенство выполняется, когда график функции расположен на оси Ox или выше неё. Так как ветви параболы направлены вверх, это происходит на промежутках левее меньшего корня ($x=-3$) и правее большего корня ($x=-1$), включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$.

б) $y < 6$

Чтобы решить это неравенство, найдём значения $x$, при которых $2x^2 + 8x + 6 < 6$.

$2x^2 + 8x < 0$

$2x(x + 4) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $2x(x + 4) = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$. Это абсциссы точек, в которых график функции пересекает прямую $y=6$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции будут меньше 6 строго между этими точками.

Ответ: $x \in (-4; 0)$.

в) $y < 0$

Неравенство выполняется, когда график функции расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями функции, то есть между $x=-3$ и $x=-1$.

Ответ: $x \in (-3; -1)$.

г) $y \ge 6$

Чтобы решить это неравенство, найдём значения $x$, при которых $2x^2 + 8x + 6 \ge 6$.

$2x^2 + 8x \ge 0$

$2x(x + 4) \ge 0$

Как было определено в пункте б), график пересекает прямую $y=6$ при $x=-4$ и $x=0$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут больше или равны 6 на промежутках левее меньшего значения ($x=-4$) и правее большего значения ($x=0$), включая сами точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [0; +\infty)$.