Номер 24.19, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.19, страница 145.

Условие.

24.19 Постройте график функции $y = -2x^2 + 4x + 6$. С помощью графика определите:

a) значение функции при $x = -2; 0; 3;$

б) значения аргумента, если $y = -10; 6; 0;$

в) наибольшее значение функции;

г) промежутки возрастания и убывания функции;

д) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 4x + 6$ необходимо выполнить несколько шагов, которые позволят определить его ключевые точки и форму.

1. Определение вида графика.

Функция $y = -2x^2 + 4x + 6$ является квадратичной. Ее график — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ ($a = -2$) отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Для нахождения $y_в$ подставим $x_в=1$ в уравнение функции:

$y_в = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 8)$. Прямая $x=1$ является осью симметрии параболы.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (Oy):

Для этого нужно положить $x=0$:

$y(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6$.

Точка пересечения с осью Oy — $(0, 6)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Для этого нужно положить $y=0$:

$-2x^2 + 4x + 6 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -2:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox — $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение графика.

Используя найденные точки: вершину $(1, 8)$, точки пересечения с осями $(0, 6)$, $(-1, 0)$, $(3, 0)$, а также точку $(2, 6)$, симметричную точке $(0, 6)$ относительно оси симметрии $x=1$, строим параболу.

На основе построенного графика и выполненных вычислений ответим на вопросы задачи.

а) значение функции при x = -2; 0; 3;

Находим на графике точки с указанными абсциссами и определяем их ординаты (значения y).
При $x = -2$: $y = -2(-2)^2 + 4(-2) + 6 = -8 - 8 + 6 = -10$.
При $x = 0$: $y = 6$ (точка пересечения с осью Oy).
При $x = 3$: $y = 0$ (точка пересечения с осью Ox).
Ответ: при $x = -2, y = -10$; при $x = 0, y = 6$; при $x = 3, y = 0$.

б) значения аргумента, если y = -10; 6; 0;

Находим на графике точки с указанными ординатами и определяем их абсциссы (значения x).
При $y = -10$: $-2x^2 + 4x + 6 = -10 \Rightarrow -2x^2 + 4x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$. Корни: $x_1 = -2, x_2 = 4$.
При $y = 6$: $-2x^2 + 4x + 6 = 6 \Rightarrow -2x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -2x(x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 2$.
При $y = 0$: это точки пересечения с осью Ox, $x_1 = -1, x_2 = 3$.
Ответ: $y = -10$ при $x = -2$ и $x = 4$; $y = 6$ при $x = 0$ и $x = 2$; $y = 0$ при $x = -1$ и $x = 3$.

в) наибольшее значение функции;

Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна 8.
Ответ: $y_{наиб} = 8$.

г) промежутки возрастания и убывания функции;

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх (слева от вершины), и убывает там, где график идет вниз (справа от вершины). Абсцисса вершины $x = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

д) значения аргумента, при которых y > 0, y < 0.

Значения $y > 0$ соответствуют той части графика, которая находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.
Значения $y < 0$ соответствуют тем частям графика, которые находятся ниже оси Ox. Это происходит левее первого корня и правее второго.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-1; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.