Номер 24.22, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.22, страница 146.

Условие.

24.22 Найдите координаты точек пересечения графика квадратичной функции с осью x:

a) $y = x^2 - 6x + 5;$

б) $y = -0,5x^2 + 2x + 6;$

в) $y = 2x^2 + 8x + 6;$

г) $y = -x^2 + 8x - 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы найти координаты точек пересечения графика квадратичной функции с осью $x$ (осью абсцисс), необходимо приравнять $y$ к нулю и решить полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни этого уравнения $x_1$ и $x_2$ будут абсциссами точек пересечения. Координаты точек пересечения будут $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$.

а) Для функции $y = x^2 - 6x + 5$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=5$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$. Координаты точек пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(5, 0)$.

б) Для функции $y = -0,5x^2 + 2x + 6$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-0,5x^2 + 2x + 6 = 0$. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-2$: $x^2 - 4x - 12 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-12$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$. $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$. Координаты точек пересечения: $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.
Ответ: $(-2, 0)$, $(6, 0)$.

в) Для функции $y = 2x^2 + 8x + 6$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $2x^2 + 8x + 6 = 0$. Разделим обе части уравнения на $2$: $x^2 + 4x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=3$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$. $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$. Координаты точек пересечения: $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.
Ответ: $(-3, 0)$, $(-1, 0)$.

г) Для функции $y = -x^2 + 8x - 7$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-x^2 + 8x - 7 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$: $x^2 - 8x + 7 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=7$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$. Координаты точек пересечения: $(1, 0)$ и $(7, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(7, 0)$.