Номер 24.15, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.15, страница 145.

Условие.

24.15 Для функции $y = 2x^2 + 4x - 1$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[-1; 0]$;

б) на луче $[-2; +\infty)$;

в) на отрезке $[0; 5]$;

г) на луче $(-\infty; -3]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2x^2 + 4x - 1$ на различных промежутках, сначала исследуем ее свойства.Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума (вершину) и не имеет глобального максимума.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$.

Ордината вершины (минимальное значение функции на всей области определения) находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 \cdot 1 - 4 - 1 = -3$.

Вершина параболы находится в точке $(-1; -3)$.Функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

а) на отрезке [-1; 0]

Данный отрезок начинается в точке вершины параболы ($x_в = -1$). На всем отрезке $[-1; 0]$ функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце.

Наименьшее значение при $x = -1$:

$y_{наим} = y(-1) = -3$.

Наибольшее значение при $x = 0$:

$y_{наиб} = y(0) = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшее значение $-1$.

б) на луче [-2; +∞)

Абсцисса вершины $x_в = -1$ принадлежит данному лучу. Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции на этом луче достигается в вершине.

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(-1) = -3$.

Поскольку луч уходит в $+\infty$, значения функции неограниченно возрастают. Таким образом, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [0; 5]

Вершина параболы ($x_в = -1$) не входит в данный отрезок. Весь отрезок $[0; 5]$ находится на возрастающем участке функции. Следовательно, наименьшее значение будет в левой конечной точке отрезка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение при $x = 0$:

$y_{наим} = y(0) = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$.

Наибольшее значение при $x = 5$:

$y_{наиб} = y(5) = 2(5)^2 + 4(5) - 1 = 2 \cdot 25 + 20 - 1 = 50 + 20 - 1 = 69$.

Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $69$.

г) на луче (-∞; -3]

Вершина параболы ($x_в = -1$) не входит в данный луч. Весь луч $(-\infty; -3]$ находится на убывающем участке функции. Это означает, что чем меньше значение $x$, тем больше значение $y$. Наименьшее значение на этом луче будет достигаться в его крайней правой точке, то есть при $x = -3$.

Наименьшее значение при $x = -3$:

$y_{наим} = y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 1 = 2 \cdot 9 - 12 - 1 = 18 - 12 - 1 = 5$.

Поскольку при $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $5$, наибольшего значения не существует.