Номер 24.17, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.17, страница 145.

Условие.

24.17 Для функции $y = 3x^2 - 12x + 1$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке [1; 4];

б) на полуинтервале (1; 4];

в) на отрезке [0; 4];

г) на полуинтервале [0; 4).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 3x^2 - 12x + 1$ необходимо исследовать ее поведение. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в своей вершине функция достигает глобального минимума.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=3$ и $b=-12$. $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции на всей области определения: $y_{min\_global} = y(x_0) = y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.

Теперь рассмотрим каждый заданный промежуток. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений на промежутке нужно сравнить значения функции на концах этого промежутка и значение в точке экстремума, если она попадает в этот промежуток.

а) на отрезке [1; 4]

Данный промежуток — это замкнутый отрезок $[1; 4]$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому отрезку ($1 \le 2 \le 4$). Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине параболы. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Чтобы найти наибольшее значение, вычислим значения функции на концах отрезка: $y(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 3 - 12 + 1 = -8$. $y(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 3 \cdot 16 - 48 + 1 = 48 - 48 + 1 = 1$.

Сравнивая значения на концах ($y(1)=-8$ и $y(4)=1$), находим, что наибольшее значение равно 1. $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

б) на полуинтервале (1; 4]

Промежуток $(1; 4]$ не включает точку $x=1$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому промежутку ($1 < 2 \le 4$), поэтому наименьшее значение функции здесь также равно -11. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Для нахождения наибольшего значения рассмотрим значения на концах. Точка $x=4$ принадлежит промежутку, $y(4)=1$. Точка $x=1$ не принадлежит, но при приближении к ней значение функции стремится к $y(1)=-8$. Так как $1 > -8$, наибольшее значение достигается в точке $x=4$. $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

в) на отрезке [0; 4]

Промежуток — замкнутый отрезок $[0; 4]$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому отрезку ($0 \le 2 \le 4$). Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке равно -11. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Найдем наибольшее значение, вычислив значения функции на концах отрезка: $y(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$. $y(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 1$.

Наибольшее значение на концах отрезка одинаково и равно 1. $y_{наиб} = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.

г) на полуинтервале [0; 4)

Промежуток $[0; 4)$ не включает точку $x=4$. Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит этому промежутку ($0 \le 2 < 4$), поэтому наименьшее значение функции равно -11. $y_{наим} = y(2) = -11$.

Для нахождения наибольшего значения рассмотрим значения на концах. Точка $x=0$ принадлежит промежутку, $y(0)=1$. Точка $x=4$ не принадлежит, но при приближении к ней значение функции стремится к $y(4)=1$. Поскольку значение 1 достигается в точке $x=0$, которая входит в данный промежуток, оно и является наибольшим. $y_{наиб} = y(0) = 1$.

Ответ: наименьшее значение -11, наибольшее значение 1.