Номер 24.18, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.18, страница 145.

Условие.

24.18 Постройте график функции $y = x^2 + 4x - 5$. С помощью графика определите:

а) значение функции при $x = -3; 0; 1$;

б) значения аргумента, если $y = -8; -5; 0$;

в) наименьшее значение функции;

г) промежутки возрастания и убывания функции;

д) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = x^2 + 4x - 5$ необходимо проанализировать ее свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:
$x_v = -b/(2a) = -4/(2 \cdot 1) = -2$
$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$. Ось симметрии — прямая $x = -2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Пересечение с осью OY (когда $x=0$):
$y = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
Пересечение с осью OX (когда $y=0$):
$x^2 + 4x - 5 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Точки $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

4. Найдем несколько дополнительных точек для точности построения.
Возьмем точку $x = -1$. $y = (-1)^2 + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка $(-1, -8)$.
Симметричная ей относительно оси $x=-2$ точка будет иметь абсциссу $x=-3$ и ту же ординату $y=-8$. Точка $(-3, -8)$.
Симметричная точке $(0, -5)$ будет точка $(-4, -5)$.

Используя полученные точки — вершину $(-2, -9)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, -5)$ и дополнительные точки $(-1, -8)$, $(-3, -8)$, $(-4, -5)$, строим график параболы. Далее, с помощью графика, отвечаем на поставленные вопросы.

а) значение функции при $x = -3; 0; 1$
Находим на графике точки с указанными абсциссами и определяем их ординаты.
При $x = -3$, значение функции $y = -8$.
При $x = 0$, значение функции $y = -5$.
При $x = 1$, значение функции $y = 0$.
Ответ: при $x=-3$ $y=-8$; при $x=0$ $y=-5$; при $x=1$ $y=0$.

б) значения аргумента, если $y = -8; -5; 0$
Проводим горизонтальные прямые на уровнях $y = -8$, $y = -5$ и $y = 0$ и находим абсциссы точек пересечения с параболой.
Если $y = -8$, то $x = -3$ или $x = -1$.
Если $y = -5$, то $x = -4$ или $x = 0$.
Если $y = 0$, то $x = -5$ или $x = 1$.
Ответ: $y = -8$ при $x \in \{-3, -1\}$; $y = -5$ при $x \in \{-4, 0\}$; $y = 0$ при $x \in \{-5, 1\}$.

в) наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна -9.
Ответ: наименьшее значение функции равно -9.

г) промежутки возрастания и убывания функции
Функция убывает на части графика слева от вершины и возрастает справа от вершины. Абсцисса вершины $x = -2$.
Функция убывает при $x \in (-\infty, -2]$.
Функция возрастает при $x \in [-2, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$ и возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$.

д) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$
$y > 0$ там, где график находится выше оси ОХ. Это происходит левее точки $x = -5$ и правее точки $x = 1$.
$y < 0$ там, где график находится ниже оси ОХ. Это происходит между точками $x = -5$ и $x = 1$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5, 1)$.