Номер 24.23, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.23, страница 146.

Условие.

24.23 Определите число корней уравнения:

а) $-x^2 + 4x + 5 = 0;$

б) $-2x^2 - 4x + 1 = -\frac{2}{x};$

в) $2x^2 - 6x + 1 = x - 2;$

г) $-x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы определить число корней уравнения $-x^2 + 4x + 5 = 0$, необходимо вычислить его дискриминант. Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = -1$, $b = 4$, $c = 5$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36$.

Поскольку дискриминант $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 корня.

б) Рассмотрим уравнение $-2x^2 - 4x + 1 = -\frac{2}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x(-2x^2 - 4x + 1) = -2$

$-2x^3 - 4x^2 + x = -2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$2x^3 + 4x^2 - x - 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(2x^3 + 4x^2) - (x + 2) = 0$

$2x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

$(2x^2 - 1)(x + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

2) $2x^2 - 1 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы получили три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Все они удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 3 корня.

в) Рассмотрим уравнение $2x^2 - 6x + 1 = x - 2$.

Приведем его к стандартному квадратному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - 6x - x + 1 + 2 = 0$

$2x^2 - 7x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 корня.

г) Рассмотрим уравнение $-x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$x(-x^2 + 2x + 1) = 1$

$-x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$

$x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0$

Для определения числа корней этого кубического уравнения воспользуемся графическим методом. Число корней равно числу точек пересечения графиков функций $y = -x^2 + 2x + 1$ (парабола) и $y = \frac{1}{x}$ (гипербола).

1. График $y = -x^2 + 2x + 1$ — это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -(1)^2 + 2(1) + 1 = 2$. Точка вершины — $(1, 2)$.

2. График $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Анализ пересечений:

• При $x < 0$: ветвь гиперболы находится в III четверти ($y < 0$). Ветвь параболы также уходит в $-\infty$ при $x \to -\infty$. Графики пересекаются один раз в этой области.
• При $x > 0$: ветвь гиперболы находится в I четверти ($y > 0$). При $x \to 0^+$, гипербола уходит в $+\infty$, а парабола стремится к значению $1$. В точке $x=1$ парабола ($y=2$) находится выше гиперболы ($y=1$). Это означает, что есть одна точка пересечения на интервале $(0, 1)$. При $x \to +\infty$ парабола уходит в $-\infty$, а гипербола стремится к $0$, оставаясь положительной. Следовательно, графики должны пересечься еще раз при $x > 1$.

Таким образом, мы имеем одну точку пересечения при $x < 0$ и две точки пересечения при $x > 0$. Всего три точки пересечения.

Ответ: 3 корня.