Номер 24.24, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Функция у = ах^2 + bx + с, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 24.24, страница 146.

Условие.

24.24 Используя график функции $y = -x^2 + 6x - 5$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $y > 0$;

б) $y \le 3$;

в) $y \le 0$;

г) $y > -5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения неравенств с помощью графика функции $y = -x^2 + 6x - 5$, необходимо сначала проанализировать и построить эскиз этого графика. Данная функция является квадратичной, её график — парабола.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы. Найдём координаты вершины $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

$y_v = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 4)$.

3. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдём нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Значит, парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Имея эту информацию, мы можем представить себе параболу: она имеет вершину в точке $(3, 4)$, её ветви направлены вниз, и она пересекает ось x в точках 1 и 5. Теперь решим неравенства.

а) $y > 0$

Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен выше оси Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз, это происходит между точками пересечения с осью Ox. Мы нашли, что это точки $x=1$ и $x=5$. Так как неравенство строгое, сами точки не включаются в решение. Следовательно, искомый промежуток — от 1 до 5.

Ответ: $x \in (1, 5)$.

б) $y \le 3$

Необходимо найти значения $x$, при которых график функции находится на уровне или ниже прямой $y=3$. Сначала найдем точки пересечения графика с этой прямой, решив уравнение:

$-x^2 + 6x - 5 = 3$

$-x^2 + 6x - 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Вершина параболы $(3, 4)$ находится выше прямой $y=3$. Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции будут меньше или равны 3 на промежутках левее $x=2$ и правее $x=4$, включая сами эти точки.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

в) $y \le 0$

Неравенство $y \le 0$ выполняется там, где график функции находится на оси Ox или ниже неё. Мы уже знаем, что парабола пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Поскольку ветви направлены вниз, график находится ниже оси Ox за пределами интервала между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому точки $x=1$ и $x=5$ включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

г) $y > -5$

Нужно найти значения $x$, при которых график функции находится выше прямой $y=-5$. Найдем точки пересечения, решив уравнение:

$-x^2 + 6x - 5 = -5$

$-x^2 + 6x = 0$

$-x(x - 6) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Вершина параболы $(3, 4)$ находится выше прямой $y=-5$. Поскольку ветви направлены вниз, график будет находиться выше этой прямой между точками пересечения. Неравенство строгое, поэтому концы интервала не включаются.

Ответ: $x \in (0, 6)$.