Страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Исследуйте на монотонность функцию:

24.20 а) $y = (x - 2)^2$;

б) $y = 2x^2 + 1$;

в) $y = -(x + 1)^2$;

г) $y = 4 - 3x^2$.

а) Для исследования функции $y = (x - 2)^2$ на монотонность найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен.
Находим производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = ((x-2)^2)' = 2(x-2) \cdot (x-2)' = 2(x-2) \cdot 1 = 2x - 4$.
Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$.
Критическая точка $x=2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков, чтобы найти интервалы монотонности.
Для интервала $(-\infty; 2)$ выберем пробную точку, например, $x=0$. $y'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4$. Так как $y' < 0$, функция убывает на этом промежутке.
Для интервала $(2; +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x=3$. $y'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. Так как $y' > 0$, функция возрастает на этом промежутке.
Поскольку функция непрерывна в точке $x=2$, эту точку можно включить в промежутки монотонности.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

б) Исследуем на монотонность функцию $y = 2x^2 + 1$. Область определения функции — все действительные числа.
Найдем производную функции:
$y' = (2x^2 + 1)' = 2 \cdot 2x + 0 = 4x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x = 0$
$x = 0$.
Критическая точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$), $y'(-1) = 4(-1) = -4 < 0$, следовательно, функция убывает.
При $x \in (0; +\infty)$ (например, $x=1$), $y'(1) = 4(1) = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.
Включая точку $x=0$ в промежутки, получаем окончательный результат.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

в) Исследуем на монотонность функцию $y = -(x + 1)^2$. Область определения — все действительные числа.
Найдем производную функции:
$y' = (-(x+1)^2)' = -2(x+1) \cdot (x+1)' = -2(x+1) = -2x - 2$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$-2(x+1) = 0$
$x+1 = 0$
$x = -1$.
Критическая точка $x=-1$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной на них.
При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-2$), $y'(-2) = -2(-2+1) = -2(-1) = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.
При $x \in (-1; +\infty)$ (например, $x=0$), $y'(0) = -2(0+1) = -2 < 0$, следовательно, функция убывает.
Функция непрерывна в точке $x=-1$, поэтому ее можно включить в промежутки.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на промежутке $[-1, +\infty)$.

г) Исследуем на монотонность функцию $y = 4 - 3x^2$. Область определения — все действительные числа.
Найдем производную функции:
$y' = (4 - 3x^2)' = 0 - 3 \cdot 2x = -6x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-6x = 0$
$x = 0$.
Критическая точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на этих промежутках.
При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$), $y'(-1) = -6(-1) = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает.
При $x \in (0; +\infty)$ (например, $x=1$), $y'(1) = -6(1) = -6 < 0$, следовательно, функция убывает.
Включая непрерывную точку $x=0$ в промежутки, получаем результат.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

24.21 a) $y = x^2 + 6x - 2;$

б) $y = 4 - x^2 + 3x;$

в) $y = 7 + 4x - 2x^2;$

г) $y = 3 + 2x^2 + 8x.$

Для решения задачи найдем координаты вершины параболы для каждой из заданных квадратичных функций. Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола, координаты вершины которой $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$

а) $y = x^2 + 6x - 2$

Это квадратичная функция, заданная в стандартном виде. Коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 6$, $c = -2$.

Найдем абсциссу (координату $x$) вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив найденное значение $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (-3)^2 + 6(-3) - 2 = 9 - 18 - 2 = -11$.

Координаты вершины параболы: $(-3, -11)$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(-3, -11)$.

б) $y = 4 - x^2 + 3x$

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = -x^2 + 3x + 4$.

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 3$, $c = 4$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = \frac{3}{2}$ в уравнение:

$y_0 = -(\frac{3}{2})^2 + 3 \cdot (\frac{3}{2}) + 4 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 4 = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{-9 + 18 + 16}{4} = \frac{25}{4} = 6.25$.

Координаты вершины параболы: $(\frac{3}{2}, \frac{25}{4})$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(\frac{3}{2}, \frac{25}{4})$.

в) $y = 7 + 4x - 2x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y = -2x^2 + 4x + 7$.

Коэффициенты: $a = -2$, $b = 4$, $c = 7$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение:

$y_0 = -2(1)^2 + 4(1) + 7 = -2 \cdot 1 + 4 + 7 = -2 + 4 + 7 = 9$.

Координаты вершины параболы: $(1, 9)$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(1, 9)$.

г) $y = 3 + 2x^2 + 8x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y = 2x^2 + 8x + 3$.

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 8$, $c = 3$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = -2$ в уравнение:

$y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5$.

Координаты вершины параболы: $(-2, -5)$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(-2, -5)$.

24.22 Найдите координаты точек пересечения графика квадратичной функции с осью x:

a) $y = x^2 - 6x + 5;$

б) $y = -0,5x^2 + 2x + 6;$

в) $y = 2x^2 + 8x + 6;$

г) $y = -x^2 + 8x - 7.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графика квадратичной функции с осью $x$ (осью абсцисс), необходимо приравнять $y$ к нулю и решить полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни этого уравнения $x_1$ и $x_2$ будут абсциссами точек пересечения. Координаты точек пересечения будут $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$.

а) Для функции $y = x^2 - 6x + 5$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-6$, $c=5$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$. Координаты точек пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(5, 0)$.

б) Для функции $y = -0,5x^2 + 2x + 6$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-0,5x^2 + 2x + 6 = 0$. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-2$: $x^2 - 4x - 12 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-12$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = -2$. $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = 6$. Координаты точек пересечения: $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.
Ответ: $(-2, 0)$, $(6, 0)$.

в) Для функции $y = 2x^2 + 8x + 6$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $2x^2 + 8x + 6 = 0$. Разделим обе части уравнения на $2$: $x^2 + 4x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=3$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$. $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$. Координаты точек пересечения: $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.
Ответ: $(-3, 0)$, $(-1, 0)$.

г) Для функции $y = -x^2 + 8x - 7$ найдем точки пересечения с осью $x$, решив уравнение $-x^2 + 8x - 7 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$: $x^2 - 8x + 7 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-8$, $c=7$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$. Координаты точек пересечения: $(1, 0)$ и $(7, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(7, 0)$.

24.23 Определите число корней уравнения:

а) $-x^2 + 4x + 5 = 0;$

б) $-2x^2 - 4x + 1 = -\frac{2}{x};$

в) $2x^2 - 6x + 1 = x - 2;$

г) $-x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{x}.$

а) Чтобы определить число корней уравнения $-x^2 + 4x + 5 = 0$, необходимо вычислить его дискриминант. Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = -1$, $b = 4$, $c = 5$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36$.

Поскольку дискриминант $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 корня.

б) Рассмотрим уравнение $-2x^2 - 4x + 1 = -\frac{2}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x(-2x^2 - 4x + 1) = -2$

$-2x^3 - 4x^2 + x = -2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$2x^3 + 4x^2 - x - 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(2x^3 + 4x^2) - (x + 2) = 0$

$2x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

$(2x^2 - 1)(x + 2) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

2) $2x^2 - 1 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы получили три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Все они удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 3 корня.

в) Рассмотрим уравнение $2x^2 - 6x + 1 = x - 2$.

Приведем его к стандартному квадратному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - 6x - x + 1 + 2 = 0$

$2x^2 - 7x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: 2 корня.

г) Рассмотрим уравнение $-x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$:

$x(-x^2 + 2x + 1) = 1$

$-x^3 + 2x^2 + x - 1 = 0$

$x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0$

Для определения числа корней этого кубического уравнения воспользуемся графическим методом. Число корней равно числу точек пересечения графиков функций $y = -x^2 + 2x + 1$ (парабола) и $y = \frac{1}{x}$ (гипербола).

1. График $y = -x^2 + 2x + 1$ — это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -(1)^2 + 2(1) + 1 = 2$. Точка вершины — $(1, 2)$.

2. График $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Анализ пересечений:

• При $x < 0$: ветвь гиперболы находится в III четверти ($y < 0$). Ветвь параболы также уходит в $-\infty$ при $x \to -\infty$. Графики пересекаются один раз в этой области.
• При $x > 0$: ветвь гиперболы находится в I четверти ($y > 0$). При $x \to 0^+$, гипербола уходит в $+\infty$, а парабола стремится к значению $1$. В точке $x=1$ парабола ($y=2$) находится выше гиперболы ($y=1$). Это означает, что есть одна точка пересечения на интервале $(0, 1)$. При $x \to +\infty$ парабола уходит в $-\infty$, а гипербола стремится к $0$, оставаясь положительной. Следовательно, графики должны пересечься еще раз при $x > 1$.

Таким образом, мы имеем одну точку пересечения при $x < 0$ и две точки пересечения при $x > 0$. Всего три точки пересечения.

Ответ: 3 корня.

24.24 Используя график функции $y = -x^2 + 6x - 5$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $y > 0$;

б) $y \le 3$;

в) $y \le 0$;

г) $y > -5$.

Для решения неравенств с помощью графика функции $y = -x^2 + 6x - 5$, необходимо сначала проанализировать и построить эскиз этого графика. Данная функция является квадратичной, её график — парабола.

1. Направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы. Найдём координаты вершины $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

$y_v = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, 4)$.

3. Точки пересечения с осью абсцисс (Ox). Найдём нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Значит, парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Имея эту информацию, мы можем представить себе параболу: она имеет вершину в точке $(3, 4)$, её ветви направлены вниз, и она пересекает ось x в точках 1 и 5. Теперь решим неравенства.

а) $y > 0$

Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен выше оси Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз, это происходит между точками пересечения с осью Ox. Мы нашли, что это точки $x=1$ и $x=5$. Так как неравенство строгое, сами точки не включаются в решение. Следовательно, искомый промежуток — от 1 до 5.

Ответ: $x \in (1, 5)$.

б) $y \le 3$

Необходимо найти значения $x$, при которых график функции находится на уровне или ниже прямой $y=3$. Сначала найдем точки пересечения графика с этой прямой, решив уравнение:

$-x^2 + 6x - 5 = 3$

$-x^2 + 6x - 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Вершина параболы $(3, 4)$ находится выше прямой $y=3$. Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции будут меньше или равны 3 на промежутках левее $x=2$ и правее $x=4$, включая сами эти точки.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

в) $y \le 0$

Неравенство $y \le 0$ выполняется там, где график функции находится на оси Ox или ниже неё. Мы уже знаем, что парабола пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Поскольку ветви направлены вниз, график находится ниже оси Ox за пределами интервала между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому точки $x=1$ и $x=5$ включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

г) $y > -5$

Нужно найти значения $x$, при которых график функции находится выше прямой $y=-5$. Найдем точки пересечения, решив уравнение:

$-x^2 + 6x - 5 = -5$

$-x^2 + 6x = 0$

$-x(x - 6) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Вершина параболы $(3, 4)$ находится выше прямой $y=-5$. Поскольку ветви направлены вниз, график будет находиться выше этой прямой между точками пересечения. Неравенство строгое, поэтому концы интервала не включаются.

Ответ: $x \in (0, 6)$.

24.25 Используя график функции $y = 2x^2 + 8x + 6$, определите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство:

а) $y \ge 0;$

б) $y < 6;$

в) $y < 0;$

г) $y \ge 6.$

Для решения задачи проанализируем функцию $y = 2x^2 + 8x + 6$ и определим ключевые особенности её графика, так как он не представлен.

Графиком данной функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $a=2$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

1. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.

Ордината вершины: $y_в = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, -2)$. Это точка минимума функции.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox) решим уравнение $y=0$:

$2x^2 + 8x + 6 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Корни данного квадратного уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 2(0)^2 + 8(0) + 6 = 6$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0, 6)$.

Используя эти данные, определим решения для каждого неравенства.

а) $y \ge 0$

Неравенство выполняется, когда график функции расположен на оси Ox или выше неё. Так как ветви параболы направлены вверх, это происходит на промежутках левее меньшего корня ($x=-3$) и правее большего корня ($x=-1$), включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$.

б) $y < 6$

Чтобы решить это неравенство, найдём значения $x$, при которых $2x^2 + 8x + 6 < 6$.

$2x^2 + 8x < 0$

$2x(x + 4) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $2x(x + 4) = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$. Это абсциссы точек, в которых график функции пересекает прямую $y=6$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции будут меньше 6 строго между этими точками.

Ответ: $x \in (-4; 0)$.

в) $y < 0$

Неравенство выполняется, когда график функции расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями функции, то есть между $x=-3$ и $x=-1$.

Ответ: $x \in (-3; -1)$.

г) $y \ge 6$

Чтобы решить это неравенство, найдём значения $x$, при которых $2x^2 + 8x + 6 \ge 6$.

$2x^2 + 8x \ge 0$

$2x(x + 4) \ge 0$

Как было определено в пункте б), график пересекает прямую $y=6$ при $x=-4$ и $x=0$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут больше или равны 6 на промежутках левее меньшего значения ($x=-4$) и правее большего значения ($x=0$), включая сами точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [0; +\infty)$.

24.26 Определите число решений системы уравнений:

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 6x + 1, \\ y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2 - 2x, \\ 2x - 3y = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -3x^2 + 12x - 5, \\ y = -5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -4x^2 + 4x + 2, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases}$

а) Чтобы определить число решений системы, подставим значение $y$ из второго уравнения ($y=3$) в первое уравнение:

$3 = 2x^2 - 6x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 6x + 1 - 3 = 0$

$2x^2 - 6x - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Число решений квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a=1$, $b=-3$, $c=-1$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня для $x$. Каждому из этих корней соответствует значение $y=3$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б) Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$2x - 3y = 0 \implies 3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$\frac{2}{3}x = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 2x - \frac{2}{3}x = 0$

$x^2 - \frac{6}{3}x - \frac{2}{3}x = 0$

$x^2 - \frac{8}{3}x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - \frac{8}{3}) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{8}{3}$. Для каждого значения $x$ можно найти соответствующее значение $y$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

в) Подставим значение $y=-5$ из второго уравнения в первое:

$-5 = -3x^2 + 12x - 5$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-3x^2 + 12x - 5 + 5 = 0$

$-3x^2 + 12x = 0$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Каждому значению $x$ соответствует $y=-5$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

г) Выразим $y$ из второго уравнения:

$3x - 2y = 0 \implies 2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{3}{2}x = -4x^2 + 4x + 2$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x = -8x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8x^2 + 3x - 8x - 4 = 0$

$8x^2 - 5x - 4 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ этого уравнения. Здесь $a=8$, $b=-5$, $c=-4$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-4) = 25 + 128 = 153$

Поскольку $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ соответствует свое значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

24.27 а) Зная, что $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$, найдите $f(x^5)$.

б) Зная, что $f(x) = -x^2 + 2x - 4$, найдите $f(-x - 1)$.

а) Чтобы найти $f(x^5)$, нужно в выражение для функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ подставить $x^5$ вместо каждого вхождения переменной $x$.

$f(x^5) = 2(x^5)^2 - 5(x^5) + 3$

Теперь упростим полученное выражение. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

Подставим это обратно в выражение для функции:

$f(x^5) = 2x^{10} - 5x^5 + 3$

Это выражение больше не упрощается.

Ответ: $2x^{10} - 5x^5 + 3$.

б) Чтобы найти $f(-x-1)$, необходимо в выражение для функции $f(x) = -x^2 + 2x - 4$ подставить $(-x-1)$ вместо каждого вхождения переменной $x$.

$f(-x - 1) = -(-x - 1)^2 + 2(-x - 1) - 4$

Упростим полученное выражение по частям. Сначала раскроем квадрат выражения $(-x - 1)$:

$(-x - 1)^2 = (-(x + 1))^2 = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

Теперь раскроем вторую скобку:

$2(-x - 1) = -2x - 2$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$f(-x - 1) = -(x^2 + 2x + 1) + (-2x - 2) - 4$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$f(-x - 1) = -x^2 - 2x - 1 - 2x - 2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$f(-x - 1) = -x^2 + (-2x - 2x) + (-1 - 2 - 4)$

$f(-x - 1) = -x^2 - 4x - 7$

Это и есть итоговое выражение.

Ответ: $-x^2 - 4x - 7$.

24.28 a) Найдите значение коэффициента c, если известно, что график функции $y = x^2 + 4x + c$ пересекает ось ординат в точке $A(0; 2)$.

б) Найдите значение коэффициента c, если известно, что график функции $y = x^2 + 4x + c$ пересекает ось ординат в точке $B(0; 4)$.

а) По условию, график функции $y = x^2 + 4x + c$ пересекает ось ординат в точке A(0; 2). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = 0$ и $y = 2$ в уравнение функции, чтобы найти неизвестный коэффициент $c$.
$2 = (0)^2 + 4 \cdot 0 + c$
$2 = 0 + 0 + c$
$c = 2$
Таким образом, значение коэффициента $c$ равно 2.
Ответ: 2

б) По условию, график функции $y = x^2 + 4x + c$ пересекает ось ординат в точке B(0; 4). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = 0$ и $y = 4$ в уравнение функции.
$4 = (0)^2 + 4 \cdot 0 + c$
$4 = 0 + 0 + c$
$c = 4$
Таким образом, значение коэффициента $c$ равно 4.
Ответ: 4