Страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

23.26 Постройте график функции, предварительно преобразовав её методом выделения полного квадрата к виду $y = a(x + l)^2 + m:$

а) $y = x^2 + 2x + 3;$

б) $y = x^2 - 4x + 1;

в) $y = x^2 + 6x + 10;$

г) $y = x^2 - 14x + 51.$

а)

Дана функция $y = x^2 + 2x + 3$. Для построения графика преобразуем её к виду $y = a(x + l)^2 + m$ методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 + 2x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 2x$, откуда $b=1$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$.

Прибавим и вычтем 1 в правой части уравнения:

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 3$

Теперь свернем полный квадрат:

$y = (x + 1)^2 + 2$

Мы привели функцию к требуемому виду, где $a=1$, $l=1$, $m=2$.

Графиком данной функции является парабола, которая получена из графика параболы $y = x^2$ путем следующих преобразований:

1. Параллельный перенос на 1 единицу влево вдоль оси Ox (так как $l=1$).
2. Параллельный перенос на 2 единицы вверх вдоль оси Oy (так как $m=2$).

Вершина параболы находится в точке с координатами $(-l; m)$, то есть $(-1; 2)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент $a = 1 > 0$.

Для более точного построения найдем несколько точек:

• Вершина: $(-1; 2)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
• Точка, симметричная точке $(0; 3)$ относительно оси симметрии $x=-1$, будет иметь координаты $(-2; 3)$.

Используя эти точки (вершину и две симметричные точки), можно построить эскиз графика.

Ответ: $y = (x + 1)^2 + 2$. График функции – парабола с вершиной в точке $(-1; 2)$, ветви которой направлены вверх.

б)

Дана функция $y = x^2 - 4x + 1$. Преобразуем её к виду $y = a(x + l)^2 + m$ методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 - 4x$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 4x$, откуда $b=2$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$.

Прибавим и вычтем 4 в правой части уравнения:

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$

Свернем полный квадрат:

$y = (x - 2)^2 - 3$

Мы привели функцию к требуемому виду, где $a=1$, $l=-2$, $m=-3$.

Графиком данной функции является парабола, полученная из графика $y = x^2$ путем следующих преобразований:

1. Параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (так как $l=-2$).
2. Параллельный перенос на 3 единицы вниз вдоль оси Oy (так как $m=-3$).

Вершина параболы находится в точке с координатами $(-l; m)$, то есть $(2; -3)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем несколько точек для построения:

• Вершина: $(2; -3)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• Точка, симметричная точке $(0; 1)$ относительно оси симметрии $x=2$, будет иметь координаты $(4; 1)$.

Ответ: $y = (x - 2)^2 - 3$. График функции – парабола с вершиной в точке $(2; -3)$, ветви которой направлены вверх.

в)

Дана функция $y = x^2 + 6x + 10$. Выделим полный квадрат.

Для выражения $x^2 + 6x$ используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 6x$, откуда $b=3$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$.

Прибавим и вычтем 9:

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 10$

Свернем полный квадрат:

$y = (x + 3)^2 + 1$

Мы получили функцию вида $y = a(x + l)^2 + m$, где $a=1$, $l=3$, $m=1$.

График этой функции — парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

Вершина параболы находится в точке $(-l; m)$, то есть $(-3; 1)$.

Ось симметрии — прямая $x = -3$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$).

Точки для построения:

• Вершина: $(-3; 1)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 10 = 10$. Точка $(0; 10)$.
• Симметричная точка относительно оси $x=-3$: $(-6; 10)$.

Ответ: $y = (x + 3)^2 + 1$. График функции – парабола с вершиной в точке $(-3; 1)$, ветви которой направлены вверх.

г)

Дана функция $y = x^2 - 14x + 51$. Выделим полный квадрат.

Для выражения $x^2 - 14x$ используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 14x$, откуда $b=7$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 7^2 = 49$.

Прибавим и вычтем 49:

$y = (x^2 - 14x + 49) - 49 + 51$

Свернем полный квадрат:

$y = (x - 7)^2 + 2$

Мы получили функцию вида $y = a(x + l)^2 + m$, где $a=1$, $l=-7$, $m=2$.

График этой функции — парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 7 единиц вправо и на 2 единицы вверх.

Вершина параболы находится в точке $(-l; m)$, то есть $(7; 2)$.

Ось симметрии — прямая $x = 7$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$).

Точки для построения:

• Вершина: $(7; 2)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 14 \cdot 0 + 51 = 51$. Точка $(0; 51)$.
• Симметричная точка относительно оси $x=7$: $(14; 51)$.

Ответ: $y = (x - 7)^2 + 2$. График функции – парабола с вершиной в точке $(7; 2)$, ветви которой направлены вверх.

Постройте график функции:

23.27 a) $y = x^2 - 10x + 24;$

б) $y = x^2 + 8x + 7;$

в) $y = x^2 - 4x;$

г) $y = x^2 - 6x + 5.$

а) $y = x^2 - 10x + 24$

1. Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), а $1 > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
Ординату вершины $y_0$ найдем, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 5^2 - 10 \cdot 5 + 24 = 25 - 50 + 24 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(5; -1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 5$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 - 10 \cdot 0 + 24 = 24$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 24)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 - 10x + 24 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{10 - 2}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6$.
Точки пересечения с осью Ox: $(4; 0)$ и $(6; 0)$.

4. Для построения графика отметим найденные точки: вершину $(5; -1)$, точки пересечения с осями $(0; 24)$, $(4; 0)$ и $(6; 0)$. Также можно найти симметричную точке $(0; 24)$ точку относительно оси симметрии $x=5$, это будет точка $(10; 24)$. Соединим точки плавной линией.

Ответ: График функции $y = x^2 - 10x + 24$ — это парабола с вершиной в точке $(5; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(4; 0)$ и $(6; 0)$, а ось ординат — в точке $(0; 24)$.

б) $y = x^2 + 8x + 7$

1. Графиком функции является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
$y_0 = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(-4; -9)$. Ось симметрии: $x = -4$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 + 8 \cdot 0 + 7 = 7$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 7)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 + 8x + 7 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.
$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-8 - 6}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-8 + 6}{2} = -1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-7; 0)$ и $(-1; 0)$.

4. Для построения графика отметим вершину $(-4; -9)$, точки пересечения с осями $(-7; 0)$, $(-1; 0)$ и $(0; 7)$. Симметричная точке $(0; 7)$ точка относительно оси $x=-4$ будет $(-8; 7)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 8x + 7$ — это парабола с вершиной в точке $(-4; -9)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-7; 0)$ и $(-1; 0)$, и ось Oy в точке $(0; 7)$.

в) $y = x^2 - 4x$

1. Графиком функции является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Ось симметрии: $x = 2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$.
$x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

4. Для построения графика отметим вершину $(2; -4)$ и точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Можно найти дополнительные точки, например, при $x=1$, $y=1^2 - 4 \cdot 1 = -3$. Точка $(1; -3)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=2$ будет $(3; -3)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(2; -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает оси координат в точке $(0; 0)$ и ось Ox также в точке $(4; 0)$.

г) $y = x^2 - 6x + 5$

1. Графиком функции является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 5)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 - 6x + 5 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

4. Для построения графика отметим вершину $(3; -4)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(5; 0)$ и $(0; 5)$. Симметричная точке $(0; 5)$ точка относительно оси $x=3$ будет $(6; 5)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(3; -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(1; 0)$ и $(5; 0)$, и ось Oy в точке $(0; 5)$.

23.28 a) $y = 2x^2 - 4x + 5;$

б) $y = -3x^2 + 6x - 1;$

в) $y = -4x^2 + 8x - 10;$

г) $y = 2x^2 - 8x + 6.$

Для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, необходимо найти ее абсциссу $x_0$ и ординату $y_0$. Они вычисляются по следующим формулам:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината вершины: $y_0 = y(x_0)$, то есть значение функции при $x=x_0$.

Применим эти формулы для решения каждой задачи.

а) $y = 2x^2 - 4x + 5$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -4$, $c = 5$.

Находим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Подставляем найденное значение $x_0=1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату:

$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 \cdot 1 - 4 + 5 = 3$

Координаты вершины параболы: $(1, 3)$.

Ответ: $(1, 3)$.

б) $y = -3x^2 + 6x - 1$

Коэффициенты: $a = -3$, $b = 6$, $c = -1$.

Находим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$

Подставляем $x_0=1$ в уравнение функции:

$y_0 = -3(1)^2 + 6(1) - 1 = -3 + 6 - 1 = 2$

Координаты вершины параболы: $(1, 2)$.

Ответ: $(1, 2)$.

в) $y = -4x^2 + 8x - 10$

Коэффициенты: $a = -4$, $b = 8$, $c = -10$.

Находим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-4)} = -\frac{8}{-8} = 1$

Подставляем $x_0=1$ в уравнение функции:

$y_0 = -4(1)^2 + 8(1) - 10 = -4 + 8 - 10 = -6$

Координаты вершины параболы: $(1, -6)$.

Ответ: $(1, -6)$.

г) $y = 2x^2 - 8x + 6$

Коэффициенты: $a = 2$, $b = -8$, $c = 6$.

Находим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Подставляем $x_0=2$ в уравнение функции:

$y_0 = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$

Координаты вершины параболы: $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.

23.29 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -3(x + 2)^2 + 3, & \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ 0, & \text{ если } -1 < x \le 0; \\ -\frac{2}{x + 1} + 2, & \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Постройте график функции

Для построения графика кусочно-заданной функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $x \in [-3, -1]$ функция задана формулой $y = -3(x + 2)^2 + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при скобке $a = -3 < 0$). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -2$ и ординатой $y_0 = -3(-2+2)^2+3=3$. Точка вершины $(-2, 3)$ принадлежит данному промежутку. Вычислим значения функции на концах промежутка:
   • $f(-3) = -3(-3 + 2)^2 + 3 = -3(-1)^2 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.
   • $f(-1) = -3(-1 + 2)^2 + 3 = -3(1)^2 + 3 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

   Таким образом, на данном отрезке график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-2, 3)$ и концами в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

2. На промежутке $x \in (-1, 0]$ функция задана формулой $y = 0$. Графиком является отрезок горизонтальной прямой, совпадающий с осью Ox, от точки $(-1, 0)$ (не включая) до точки $(0, 0)$ (включая). Так как в точке $x = -1$ значение функции из первого правила равно $f(-1) = 0$, то функция непрерывна в этой точке.

3. На промежутке $x > 0$ функция задана формулой $y = - \frac{2}{x + 1} + 2$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -2/x$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота гиперболы — $x = -1$, горизонтальная — $y = 2$. Рассмотрим поведение функции на границе промежутка. При $x \to 0^+$ имеем $y \to - \frac{2}{0 + 1} + 2 = 0$. Значение в точке $x=0$ совпадает со значением из второго правила ($f(0)=0$), значит, функция непрерывна и в точке $x=0$. При $x \to +\infty$ график функции стремится к горизонтальной асимптоте $y = 2$ снизу. Для точности построения найдем еще одну точку: при $x = 1$, $y = - \frac{2}{1+1} + 2 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Совмещая все три части, получаем итоговый график. График начинается в точке $(-3,0)$, поднимается к вершине параболы в $(-2,3)$, опускается до $(-1,0)$, затем идет по оси Оx до точки $(0,0)$, а оттуда возрастает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=2$.

Ответ: График функции состоит из трех частей: дуги параболы с вершиной в $(-2, 3)$ на отрезке $[-3, -1]$; отрезка оси абсцисс от $x=-1$ до $x=0$; ветви гиперболы, выходящей из точки $(0,0)$ и асимптотически приближающейся к прямой $y=2$ при $x \to +\infty$.

Прочитайте график функции

На основе построенного графика перечислим основные свойства функции $y=f(x)$:

• Область определения функции: $D(f) = [-3; +\infty)$.
• Множество значений функции: $E(f) = [0; 3]$.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=-3$ и для всех $x \in [-1; 0]$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$.
  • $f(x) < 0$ на всей области определения нет.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках $[-3; -2]$ и $[0; +\infty)$.
  • Функция убывает на промежутке $[-2; -1]$.
  • Функция постоянна на промежутке $[-1; 0]$.
• Точки экстремума:
  • Точка максимума $x_{max} = -2$, максимум функции $y_{max} = 3$.
  • Точки минимума $x_{min}$: точка $x=-3$ и все точки отрезка $[-1; 0]$. Минимум функции $y_{min} = 0$.
• Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения $D(f)$ несимметрична относительно начала координат.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-3; +\infty)$.
• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=2$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Основные свойства функции: область определения $D(f) = [-3; +\infty)$; множество значений $E(f) = [0; 3]$; нули $x=-3$ и $x \in [-1; 0]$; $f(x)>0$ при $x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$; возрастает на $[-3; -2]$ и $[0; +\infty)$; убывает на $[-2; -1]$; постоянна на $[-1; 0]$; максимум $y_{max} = 3$ в точке $x=-2$; минимум $y_{min} = 0$ в точке $x=-3$ и на отрезке $[-1; 0]$.

24.1 Какая из следующих функций является квадратичной:

а) $y = 3x^2 + 5x + 6$;

б) $y = 3x - 1$;

в) $y = 5x^2 - 7x$;

г) $y = 9x?$

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем обязательным условием является $a \ne 0$. Это означает, что в уравнении функции обязательно должен присутствовать член с $x$ во второй степени.

Рассмотрим каждую из предложенных функций:

а) $y = 3x^2 + 5x + 6$

Данная функция полностью соответствует виду $y = ax^2 + bx + c$. Здесь коэффициенты: $a = 3$, $b = 5$, $c = 6$. Главное условие $a \ne 0$ выполняется, так как $a = 3$. Следовательно, эта функция является квадратичной.

Ответ: является квадратичной.

б) $y = 3x - 1$

Это функция вида $y = kx + m$, где $k=3$ и $m=-1$. Максимальная степень переменной $x$ здесь равна 1. Это линейная функция. Если попытаться записать ее в стандартном виде квадратичной функции, то коэффициент при $x^2$ будет равен нулю ($a=0$), что противоречит определению.

Ответ: не является квадратичной.

в) $y = 5x^2 - 7x$

Эту функцию можно представить в виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 5$, $b = -7$ и $c = 0$. Условие $a \ne 0$ выполняется, так как $a = 5$. Такая функция называется неполной квадратичной функцией, но она относится к классу квадратичных функций.

Ответ: является квадратичной.

г) $y = 9x$

Это функция вида $y = kx$, где $k=9$. Максимальная степень переменной $x$ равна 1. Это линейная функция (прямая пропорциональность). Коэффициент при $x^2$ равен нулю ($a=0$), следовательно, функция не является квадратичной.

Ответ: не является квадратичной.

24.2 Назовите коэффициенты $a$, $b$ и $c$ с квадратичной функции:

а) $y = 7x^2 - 3x - 2;$

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 1;$

в) $y = 8x^2 - 2x;$

г) $y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{7} - \frac{3}{10}x^2.$

Квадратичная функция в общем виде записывается как $y = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ являются коэффициентами. Коэффициент $a$ находится при члене с $x^2$, коэффициент $b$ — при члене с $x$, а $c$ — это свободный член (число без переменной $x$). Для определения коэффициентов необходимо сравнить каждое данное уравнение с его общей формой.

а) В уравнении $y = 7x^2 - 3x - 2$ мы видим, что множитель при $x^2$ равен $7$, множитель при $x$ равен $-3$, а свободный член равен $-2$.
Ответ: $a = 7$, $b = -3$, $c = -2$.

б) В уравнении $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$ множитель при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$. Член с $x$ в первой степени отсутствует, что означает, что его коэффициент равен $0$. Свободный член равен $1$.
Ответ: $a = \frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = 1$.

в) В уравнении $y = 8x^2 - 2x$ множитель при $x^2$ равен $8$, а множитель при $x$ равен $-2$. Свободный член отсутствует, что означает, что он равен $0$.
Ответ: $a = 8$, $b = -2$, $c = 0$.

г) Уравнение $y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{7} - \frac{3}{10}x^2$ необходимо сначала привести к стандартному виду, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $x$: $y = -\frac{3}{10}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{1}{7}$. Отсюда видно, что множитель при $x^2$ равен $-\frac{3}{10}$, множитель при $x$ равен $\frac{2}{5}$, а свободный член равен $\frac{1}{7}$.
Ответ: $a = -\frac{3}{10}$, $b = \frac{2}{5}$, $c = \frac{1}{7}$.