Номер 23.26, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.26, страница 143.

Условие.

23.26 Постройте график функции, предварительно преобразовав её методом выделения полного квадрата к виду $y = a(x + l)^2 + m:$

а) $y = x^2 + 2x + 3;$

б) $y = x^2 - 4x + 1;

в) $y = x^2 + 6x + 10;$

г) $y = x^2 - 14x + 51.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дана функция $y = x^2 + 2x + 3$. Для построения графика преобразуем её к виду $y = a(x + l)^2 + m$ методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 + 2x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 2x$, откуда $b=1$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$.

Прибавим и вычтем 1 в правой части уравнения:

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 3$

Теперь свернем полный квадрат:

$y = (x + 1)^2 + 2$

Мы привели функцию к требуемому виду, где $a=1$, $l=1$, $m=2$.

Графиком данной функции является парабола, которая получена из графика параболы $y = x^2$ путем следующих преобразований:

1. Параллельный перенос на 1 единицу влево вдоль оси Ox (так как $l=1$).
2. Параллельный перенос на 2 единицы вверх вдоль оси Oy (так как $m=2$).

Вершина параболы находится в точке с координатами $(-l; m)$, то есть $(-1; 2)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$.

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент $a = 1 > 0$.

Для более точного построения найдем несколько точек:

• Вершина: $(-1; 2)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
• Точка, симметричная точке $(0; 3)$ относительно оси симметрии $x=-1$, будет иметь координаты $(-2; 3)$.

Используя эти точки (вершину и две симметричные точки), можно построить эскиз графика.

Ответ: $y = (x + 1)^2 + 2$. График функции – парабола с вершиной в точке $(-1; 2)$, ветви которой направлены вверх.

б)

Дана функция $y = x^2 - 4x + 1$. Преобразуем её к виду $y = a(x + l)^2 + m$ методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат из выражения $x^2 - 4x$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 4x$, откуда $b=2$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$.

Прибавим и вычтем 4 в правой части уравнения:

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$

Свернем полный квадрат:

$y = (x - 2)^2 - 3$

Мы привели функцию к требуемому виду, где $a=1$, $l=-2$, $m=-3$.

Графиком данной функции является парабола, полученная из графика $y = x^2$ путем следующих преобразований:

1. Параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (так как $l=-2$).
2. Параллельный перенос на 3 единицы вниз вдоль оси Oy (так как $m=-3$).

Вершина параболы находится в точке с координатами $(-l; m)$, то есть $(2; -3)$.

Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем несколько точек для построения:

• Вершина: $(2; -3)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• Точка, симметричная точке $(0; 1)$ относительно оси симметрии $x=2$, будет иметь координаты $(4; 1)$.

Ответ: $y = (x - 2)^2 - 3$. График функции – парабола с вершиной в точке $(2; -3)$, ветви которой направлены вверх.

в)

Дана функция $y = x^2 + 6x + 10$. Выделим полный квадрат.

Для выражения $x^2 + 6x$ используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 6x$, откуда $b=3$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$.

Прибавим и вычтем 9:

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 10$

Свернем полный квадрат:

$y = (x + 3)^2 + 1$

Мы получили функцию вида $y = a(x + l)^2 + m$, где $a=1$, $l=3$, $m=1$.

График этой функции — парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

Вершина параболы находится в точке $(-l; m)$, то есть $(-3; 1)$.

Ось симметрии — прямая $x = -3$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$).

Точки для построения:

• Вершина: $(-3; 1)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 6 \cdot 0 + 10 = 10$. Точка $(0; 10)$.
• Симметричная точка относительно оси $x=-3$: $(-6; 10)$.

Ответ: $y = (x + 3)^2 + 1$. График функции – парабола с вершиной в точке $(-3; 1)$, ветви которой направлены вверх.

г)

Дана функция $y = x^2 - 14x + 51$. Выделим полный квадрат.

Для выражения $x^2 - 14x$ используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, $2ab = 14x$, откуда $b=7$. Нам нужно слагаемое $b^2 = 7^2 = 49$.

Прибавим и вычтем 49:

$y = (x^2 - 14x + 49) - 49 + 51$

Свернем полный квадрат:

$y = (x - 7)^2 + 2$

Мы получили функцию вида $y = a(x + l)^2 + m$, где $a=1$, $l=-7$, $m=2$.

График этой функции — парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 7 единиц вправо и на 2 единицы вверх.

Вершина параболы находится в точке $(-l; m)$, то есть $(7; 2)$.

Ось симметрии — прямая $x = 7$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$).

Точки для построения:

• Вершина: $(7; 2)$.
• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 14 \cdot 0 + 51 = 51$. Точка $(0; 51)$.
• Симметричная точка относительно оси $x=7$: $(14; 51)$.

Ответ: $y = (x - 7)^2 + 2$. График функции – парабола с вершиной в точке $(7; 2)$, ветви которой направлены вверх.