Номер 23.22, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.22, страница 142.

Условие.

23.22 Постройте график функции $y = 5 - |x + 2|$. С помощью графика найдите:

а) наибольшее значение функции;

б) промежутки возрастания, убывания функции;

в) значения $x$, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;

г) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = 5 - |x + 2|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Построим график основной функции $y_1 = |x|$. Это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Сдвинем график $y_1 = |x|$ на 2 единицы влево по оси Ox, чтобы получить график функции $y_2 = |x + 2|$. Вершина сместится в точку $(-2, 0)$.
3. Отразим график $y_2 = |x + 2|$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график функции $y_3 = -|x + 2|$. Это будет перевернутая "галочка" с вершиной в точке $(-2, 0)$.
4. Сдвинем график $y_3 = -|x + 2|$ на 5 единиц вверх по оси Oy, чтобы получить итоговый график функции $y = 5 - |x + 2|$. Вершина графика сместится в точку $(-2, 5)$.

График функции $y = 5 - |x + 2|$ представляет собой перевернутую "галочку" (два луча, выходящих из одной точки и направленных вниз), вершина которой находится в точке $(-2, 5)$.

Для большей точности найдем точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = 5 - |0 + 2| = 5 - 2 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = 5 - |x + 2| \Rightarrow |x + 2| = 5$.
  Это уравнение распадается на два:
  1) $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.
  2) $x + 2 = -5 \Rightarrow x = -7$. Точка $(-7, 0)$.

С помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) наибольшее значение функции;
Так как график функции представляет собой перевернутую "галочку", его наивысшая точка - это вершина. Координаты вершины $(-2, 5)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: $y_{наиб} = 5$.

б) промежутки возрастания, убывания функции;
Функция возрастает на луче, который находится левее вершины, то есть до $x = -2$. Функция убывает на луче, который находится правее вершины, то есть после $x = -2$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -2]$; функция убывает на промежутке $[-2, +\infty)$.

в) значения х, при которых y = 0, y > 0, y < 0;
Анализируем положение графика относительно оси Ox.

• $y = 0$ в точках пересечения графика с осью Ox. Мы их нашли ранее.
• $y > 0$ на том участке, где график расположен выше оси Ox. Это происходит между точками пересечения.
• $y < 0$ на тех участках, где график расположен ниже оси Ox. Это происходит левее левой точки пересечения и правее правой.

Ответ: $y = 0$ при $x = -7$ и $x = 3$; $y > 0$ при $x \in (-7, 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty)$.

г) множество значений функции.
Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые может принимать $y$. Так как наибольшее значение функции равно 5, а ветви графика уходят вниз в бесконечность, функция принимает все значения от $-\infty$ до 5 включительно.
Ответ: $E(y) = (-\infty, 5]$.