Номер 23.21, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.21, страница 142.

Условие.

23.21 Постройте график функции $y = |x - 2| - 3$. С помощью графика найдите:

а) наименьшее значение функции;

б) промежутки возрастания, убывания функции;

в) значения $x$, при которых $y = 0, y > 0, y < 0;$

г) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = |x - 2| - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Построим график базовой функции $y = |x|$. Это V-образная кривая (известная как "галочка"), состоящая из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.
2. Сместим график $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получим график функции $y = |x - 2|$. Вершина графика сместится в точку $(2, 0)$.
3. Сместим график $y = |x - 2|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Получим искомый график функции $y = |x - 2| - 3$. Вершина графика сместится в точку $(2, -3)$.

Итоговый график — это V-образная кривая с вершиной в точке $(2, -3)$, ветви которой направлены вверх.
Аналитически функцию можно задать кусочно:
Если $x \ge 2$, то $y = (x - 2) - 3 = x - 5$.
Если $x < 2$, то $y = -(x - 2) - 3 = -x + 2 - 3 = -x - 1$.

Используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) наименьшее значение функции;
Наименьшее значение функция достигает в своей вершине. Из построения графика следует, что вершина имеет координаты $(2, -3)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно ординате (y-координате) вершины.
Ответ: $-3$.

б) промежутки возрастания, убывания функции;
По графику видно, что функция убывает на луче слева от вершины (где $x < 2$) и возрастает на луче справа от вершины (где $x > 2$). Точка $x=2$ является точкой минимума, поэтому ее включают в оба промежутка.
Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.
Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

в) значения x, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;
1. Найдем значения $x$, при которых $y = 0$. Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox (нули функции).
Решим уравнение: $|x - 2| - 3 = 0 \implies |x - 2| = 3$.
Это уравнение равносильно двум:
$x - 2 = 3 \implies x = 5$.
$x - 2 = -3 \implies x = -1$.

2. Найдем значения $x$, при которых $y > 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси Ox. Исходя из расположения графика и его нулей ($x=-1$ и $x=5$), это происходит, когда $x < -1$ или $x > 5$.

3. Найдем значения $x$, при которых $y < 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси Ox. Это происходит, когда $x$ находится между нулями функции, то есть $-1 < x < 5$.
Ответ: $y=0$ при $x=-1$ и $x=5$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-1, 5)$.

г) множество значений функции.
Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые может принимать переменная $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно $-3$ (достигается в вершине), а ветви графика неограниченно уходят вверх, область значений — это все числа, большие или равные $-3$.
Ответ: $[-3, +\infty)$.