Номер 23.18, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.18, страница 141.

Условие.

23.18 Используя график функции $y = -(x - 3)^2 + 4$:

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$;

б) определите промежутки возрастания и убывания функции;

в) укажите наибольшее значение функции;

г) напишите уравнение оси симметрии параболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для анализа функции $y = -(x - 3)^2 + 4$ определим ключевые характеристики ее графика. Это парабола, заданная уравнением в вершинной форме $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Из уравнения следует, что:
1. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_v, y_v) = (3, 4)$.

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$

Чтобы найти значения аргумента (x), при которых $y = 0$, решим уравнение:
$-(x - 3)^2 + 4 = 0$
$(x - 3)^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$
$x_1 = 5$ или $x_2 = 1$
Это нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Чтобы найти, где $y > 0$, учтем, что ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция положительна между своими корнями.
$y > 0$ при $x \in (1, 5)$.

Чтобы найти, где $y < 0$, учтем, что функция отрицательна за пределами интервала между корнями.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=1$ и $x=5$; $y > 0$ при $x \in (1, 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

б) определите промежутки возрастания и убывания функции

Вершина параболы — точка, в которой меняется характер монотонности функции. Абсцисса вершины $x = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$.
Промежуток убывания: $[3, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, \infty)$.

в) укажите наибольшее значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции равно ординате (координате y) вершины.
Координаты вершины — $(3, 4)$.
Следовательно, $y_{наиб} = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 4.

г) напишите уравнение оси симметрии параболы

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая проходит через ее вершину. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_v$, где $x_v$ — абсцисса вершины.
Так как абсцисса вершины равна 3, уравнение оси симметрии: $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.