Номер 23.17, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.17, страница 141.

Условие.

23.17 Для функции $y = \sqrt{x + 2} - 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[-2; 2]$;

б) на интервале $(0; 1)$;

в) на полуинтервале $[23; 34)$;

г) на луче $[3; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x+2} - 3$ на заданных промежутках, сначала исследуем ее на монотонность.

Область определения функции задается условием $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{x+2} - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Поскольку производная $y' > 0$ при всех $x$ из интервала $(-2; +\infty)$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-2; +\infty)$.

Возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левой границе промежутка, а наибольшее — на правой (если эти границы принадлежат промежутку).

а) на отрезке [-2; 2]

Данный отрезок является замкнутым. Так как функция возрастает, наименьшее значение будет в точке $x = -2$, а наибольшее — в точке $x = 2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = \sqrt{-2+2} - 3 = \sqrt{0} - 3 = -3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = \sqrt{2+2} - 3 = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: наименьшее значение равно -3, наибольшее значение равно -1.

б) на интервале (0; 1)

Данный интервал является открытым, то есть его концы не включаются в него. Так как функция строго возрастает на этом интервале, она стремится к своему наименьшему значению при $x \to 0$ и к наибольшему при $x \to 1$, но не достигает их.

Значение на левой границе (не достигается): $y(0) = \sqrt{0+2} - 3 = \sqrt{2} - 3$.

Значение на правой границе (не достигается): $y(1) = \sqrt{1+2} - 3 = \sqrt{3} - 3$.

Множество значений функции на данном интервале — $(\sqrt{2}-3; \sqrt{3}-3)$. В этом множестве нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

в) на полуинтервале [23; 34)

На данном полуинтервале левая граница $x=23$ включена, а правая $x=34$ — нет. Функция возрастает.

Наименьшее значение достигается на левой границе: $y_{наим} = y(23) = \sqrt{23+2} - 3 = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$.

На правой границе $x=34$ значение не достигается, так как точка исключена из промежутка. Значения функции стремятся к $y(34) = \sqrt{34+2} - 3 = \sqrt{36} - 3 = 6 - 3 = 3$. Поскольку это значение не достигается, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

г) на луче [3; +∞)

Данный промежуток — луч, включающий левую границу $x=3$. Функция возрастает на этом луче.

Наименьшее значение достигается на левой границе: $y_{наим} = y(3) = \sqrt{3+2} - 3 = \sqrt{5} - 3$.

Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = \sqrt{x+2} - 3$ также неограниченно возрастает. Таким образом, функция не ограничена сверху на данном луче.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt{5} - 3$, наибольшего значения не существует.