Номер 23.24, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.24, страница 142.

Условие.

23.24 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x+1} + 2, & \text{если } x < -1; \\ -2x - 2, & \text{если } x \ge -1. \end{cases}$

а) Найдите $f(-2)$; $f(-1)$; $f(0,25)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) С помощью графика функции найдите значения $x$, при которых $f(x) = 1$, $f(x) = 0$, $f(x) = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для нахождения значений функции необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Найдем $f(-2)$. Так как $x = -2 < -1$, используем первую формулу: $f(x) = \frac{2}{x+1} + 2$.
  $f(-2) = \frac{2}{-2+1} + 2 = \frac{2}{-1} + 2 = -2 + 2 = 0$.

• Найдем $f(-1)$. Так как $x = -1 \ge -1$, используем вторую формулу: $f(x) = -2x - 2$.
  $f(-1) = -2(-1) - 2 = 2 - 2 = 0$.

• Найдем $f(0,25)$. Так как $x = 0,25 \ge -1$, используем вторую формулу: $f(x) = -2x - 2$.
  $f(0,25) = -2 \cdot 0,25 - 2 = -0,5 - 2 = -2,5$.

Ответ: $f(-2) = 0$; $f(-1) = 0$; $f(0,25) = -2,5$.

б)

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.

1. При $x < -1$ функция задается формулой $y = \frac{2}{x+1} + 2$. Это гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Асимптоты этой гиперболы: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 2$.
   Найдем несколько точек для построения этой части графика:
   При $x = -2$, $y = \frac{2}{-2+1} + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
   При $x = -3$, $y = \frac{2}{-3+1} + 2 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
   При $x = -1,5$, $y = \frac{2}{-1,5+1} + 2 = -2$. Точка $(-1,5, -2)$.

2. При $x \ge -1$ функция задается формулой $y = -2x - 2$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек.
   Найдем значение в граничной точке $x = -1$: $y = -2(-1) - 2 = 0$. Точка $(-1, 0)$ является началом луча (точка закрашенная).
   Найдем еще одну точку, например, при $x = 0$: $y = -2(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
   Таким образом, эта часть графика — луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и проходящий через точку $(0, -2)$.

Построим график:

Ответ: График построен.

в)

Найдем значения $x$ с помощью построенного графика. Для этого проведем горизонтальные прямые $y=1$, $y=0$ и $y=-2$ и найдем абсциссы точек их пересечения с графиком функции $f(x)$.

• При $f(x) = 1$:
  Прямая $y=1$ пересекает график в одной точке, которая лежит на ветви гиперболы. Из графика видно, что абсцисса этой точки $x = -3$.
  Проверим аналитически: $\frac{2}{x+1} + 2 = 1 \implies \frac{2}{x+1} = -1 \implies 2 = -x-1 \implies x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.

• При $f(x) = 0$:
  Прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает график в двух точках. Одна точка лежит на ветви гиперболы, ее абсцисса $x = -2$. Другая точка — начало луча, ее абсцисса $x = -1$.
  Проверим: $f(-2) = 0$ и $f(-1) = 0$, как было вычислено в пункте а).

• При $f(x) = -2$:
  Прямая $y=-2$ пересекает график в двух точках. Одна точка лежит на ветви гиперболы. Найдем ее абсциссу: $\frac{2}{x+1} + 2 = -2 \implies \frac{2}{x+1} = -4 \implies 2 = -4x-4 \implies 4x = -6 \implies x = -1,5$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.
  Вторая точка лежит на луче. Найдем ее абсциссу: $-2x-2 = -2 \implies -2x = 0 \implies x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge -1$.
  Таким образом, $x = -1,5$ и $x = 0$.

Ответ: $f(x) = 1$ при $x = -3$; $f(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = -1$; $f(x) = -2$ при $x = -1,5$ и $x = 0$.