Номер 23.27, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.27, страница 143.

Условие.

Постройте график функции:

23.27 a) $y = x^2 - 10x + 24;$

б) $y = x^2 + 8x + 7;$

в) $y = x^2 - 4x;$

г) $y = x^2 - 6x + 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = x^2 - 10x + 24$

1. Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), а $1 > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
Ординату вершины $y_0$ найдем, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = 5^2 - 10 \cdot 5 + 24 = 25 - 50 + 24 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(5; -1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 5$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 - 10 \cdot 0 + 24 = 24$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 24)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 - 10x + 24 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{10 - 2}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6$.
Точки пересечения с осью Ox: $(4; 0)$ и $(6; 0)$.

4. Для построения графика отметим найденные точки: вершину $(5; -1)$, точки пересечения с осями $(0; 24)$, $(4; 0)$ и $(6; 0)$. Также можно найти симметричную точке $(0; 24)$ точку относительно оси симметрии $x=5$, это будет точка $(10; 24)$. Соединим точки плавной линией.

Ответ: График функции $y = x^2 - 10x + 24$ — это парабола с вершиной в точке $(5; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(4; 0)$ и $(6; 0)$, а ось ординат — в точке $(0; 24)$.

б) $y = x^2 + 8x + 7$

1. Графиком функции является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
$y_0 = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(-4; -9)$. Ось симметрии: $x = -4$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 + 8 \cdot 0 + 7 = 7$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 7)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 + 8x + 7 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.
$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-8 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-8 - 6}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-8 + 6}{2} = -1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-7; 0)$ и $(-1; 0)$.

4. Для построения графика отметим вершину $(-4; -9)$, точки пересечения с осями $(-7; 0)$, $(-1; 0)$ и $(0; 7)$. Симметричная точке $(0; 7)$ точка относительно оси $x=-4$ будет $(-8; 7)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 8x + 7$ — это парабола с вершиной в точке $(-4; -9)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(-7; 0)$ и $(-1; 0)$, и ось Oy в точке $(0; 7)$.

в) $y = x^2 - 4x$

1. Графиком функции является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Ось симметрии: $x = 2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$.
$x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

4. Для построения графика отметим вершину $(2; -4)$ и точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Можно найти дополнительные точки, например, при $x=1$, $y=1^2 - 4 \cdot 1 = -3$. Точка $(1; -3)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=2$ будет $(3; -3)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(2; -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает оси координат в точке $(0; 0)$ и ось Ox также в точке $(4; 0)$.

г) $y = x^2 - 6x + 5$

1. Графиком функции является парабола. Коэффициент $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$. Ось симметрии: $x = 3$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$):
$y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0; 5)$.
С осью Ox (при $y=0$):
$x^2 - 6x + 5 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

4. Для построения графика отметим вершину $(3; -4)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(5; 0)$ и $(0; 5)$. Симметричная точке $(0; 5)$ точка относительно оси $x=3$ будет $(6; 5)$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(3; -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(1; 0)$ и $(5; 0)$, и ось Oy в точке $(0; 5)$.