Номер 23.25, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.25, страница 142.

Условие.

23.25 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$, где:

a) $f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 + 2, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ (x+1)^2 + 1, & \text{если } x > -1; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} - 1, & \text{если } -4 \le x \le 0; \\ -x^2 + 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) $f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 + 2, & \text{если } -3 \le x \le -1 \\ (x+1)^2 + 1, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

Функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. График функции $y = (x+2)^2 + 2$ на промежутке $-3 \le x \le -1$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

• При $x = -3$: $y = (-3+2)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 3$. Координаты точки: $(-3, 3)$. Точка закрашенная.
• При $x = -1$: $y = (-1+2)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$. Координаты точки: $(-1, 3)$. Точка закрашенная.

Вершина параболы с абсциссой $x = -2$ принадлежит данному промежутку. Таким образом, на отрезке $[-3, -1]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-2, 2)$ и концами в точках $(-3, 3)$ и $(-1, 3)$.

2. График функции $y = (x+1)^2 + 1$ на промежутке $x > -1$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y=x^2$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$.

Поскольку промежуток строгий ($x > -1$), точка с абсциссой $x=-1$ не принадлежит графику. Найдем предел функции при $x \to -1^+$:

$y \to (-1+1)^2 + 1 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является началом луча параболы и изображается на графике как выколотая (пустой кружок).

Для более точного построения найдем еще одну точку, например, при $x=0$: $y = (0+1)^2 + 1 = 2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит графику.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(f) = [-3, -1] \cup (-1, \infty) = [-3, \infty)$.
• Область значений: На первом участке значения изменяются от 2 до 3, то есть $[2, 3]$. На втором участке значения больше 1, то есть $(1, \infty)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (1, \infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $[-3, -2]$; функция возрастает на промежутках $[-2, -1]$ и $(-1, \infty)$.
• Нули функции: нет, так как все значения функции строго больше 1.
• Экстремумы: $x = -2$ является точкой локального минимума, $y_{min} = f(-2) = 2$.
• Непрерывность: функция непрерывна на каждом из промежутков $[-3, -1]$ и $(-1, \infty)$, но в точке $x = -1$ имеет разрыв (скачок), так как $f(-1) = 3$, а предел справа $\lim_{x\to-1^+} f(x) = 1$.
• Четность и нечетность: функция общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: область определения $D(f) = [-3, \infty)$; область значений $E(f) = (1, \infty)$; функция убывает на $[-3, -2]$ и возрастает на $[-2, -1]$ и $(-1, \infty)$; нулей нет; точка локального минимума $x=-2$.

---

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} - 1, & \text{если } -4 \le x \le 0 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. График функции $y = \sqrt{x+4} - 1$ на промежутке $-4 \le x \le 0$.

Это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. График представляет собой возрастающую дугу.

Найдем значения функции на концах отрезка:

• При $x = -4$: $y = \sqrt{-4+4} - 1 = 0 - 1 = -1$. Координаты точки: $(-4, -1)$. Точка закрашенная.
• При $x = 0$: $y = \sqrt{0+4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Координаты точки: $(0, 1)$. Точка закрашенная.

2. График функции $y = -x^2 + 1$ на промежутке $x > 0$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Она получена из графика $y=-x^2$ путем сдвига на 1 единицу вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Поскольку промежуток строгий ($x > 0$), точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит этому участку графика. Найдем предел функции при $x \to 0^+$:

$y \to -0^2 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ является началом луча параболы и изображается как выколотая.

Поскольку значение первого участка в точке $x=0$ равно 1, и предел второго участка в этой же точке равен 1, функция является непрерывной в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(f) = [-4, 0] \cup (0, \infty) = [-4, \infty)$.
• Область значений: На первом участке значения изменяются от -1 до 1, то есть $[-1, 1]$. На втором участке значения меньше 1, то есть $(-\infty, 1)$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (-\infty, 1]$.
• Нули функции:
  • На первом участке: $\sqrt{x+4} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+4} = 1 \implies x+4=1 \implies x=-3$.
  • На втором участке: $-x^2 + 1 = 0 \implies x^2=1$. Учитывая, что $x>0$, получаем $x=1$.
  Нули функции: $x=-3$ и $x=1$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $[-4, 0]$; функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.
• Экстремумы: $x = -4$ — точка глобального минимума, $y_{min} = f(-4) = -1$. $x = 0$ — точка глобального максимума, $y_{max} = f(0) = 1$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $D(f)=[-4, \infty)$.
• Четность и нечетность: функция общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-3, 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4, -3) \cup (1, \infty)$.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: область определения $D(f) = [-4, \infty)$; область значений $E(f) = (-\infty, 1]$; функция возрастает на $[-4, 0]$ и убывает на $[0, \infty)$; нули функции $x=-3, x=1$; $y_{max} = 1$ при $x=0$; $y_{min} = -1$ при $x=-4$.