Номер 23.29, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.29, страница 143.

Условие.

23.29 Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -3(x + 2)^2 + 3, & \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ 0, & \text{ если } -1 < x \le 0; \\ -\frac{2}{x + 1} + 2, & \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Постройте график функции

Для построения графика кусочно-заданной функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $x \in [-3, -1]$ функция задана формулой $y = -3(x + 2)^2 + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при скобке $a = -3 < 0$). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -2$ и ординатой $y_0 = -3(-2+2)^2+3=3$. Точка вершины $(-2, 3)$ принадлежит данному промежутку. Вычислим значения функции на концах промежутка:
   • $f(-3) = -3(-3 + 2)^2 + 3 = -3(-1)^2 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.
   • $f(-1) = -3(-1 + 2)^2 + 3 = -3(1)^2 + 3 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

   Таким образом, на данном отрезке график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-2, 3)$ и концами в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

2. На промежутке $x \in (-1, 0]$ функция задана формулой $y = 0$. Графиком является отрезок горизонтальной прямой, совпадающий с осью Ox, от точки $(-1, 0)$ (не включая) до точки $(0, 0)$ (включая). Так как в точке $x = -1$ значение функции из первого правила равно $f(-1) = 0$, то функция непрерывна в этой точке.

3. На промежутке $x > 0$ функция задана формулой $y = - \frac{2}{x + 1} + 2$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -2/x$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота гиперболы — $x = -1$, горизонтальная — $y = 2$. Рассмотрим поведение функции на границе промежутка. При $x \to 0^+$ имеем $y \to - \frac{2}{0 + 1} + 2 = 0$. Значение в точке $x=0$ совпадает со значением из второго правила ($f(0)=0$), значит, функция непрерывна и в точке $x=0$. При $x \to +\infty$ график функции стремится к горизонтальной асимптоте $y = 2$ снизу. Для точности построения найдем еще одну точку: при $x = 1$, $y = - \frac{2}{1+1} + 2 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Совмещая все три части, получаем итоговый график. График начинается в точке $(-3,0)$, поднимается к вершине параболы в $(-2,3)$, опускается до $(-1,0)$, затем идет по оси Оx до точки $(0,0)$, а оттуда возрастает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=2$.

Ответ: График функции состоит из трех частей: дуги параболы с вершиной в $(-2, 3)$ на отрезке $[-3, -1]$; отрезка оси абсцисс от $x=-1$ до $x=0$; ветви гиперболы, выходящей из точки $(0,0)$ и асимптотически приближающейся к прямой $y=2$ при $x \to +\infty$.

Прочитайте график функции

На основе построенного графика перечислим основные свойства функции $y=f(x)$:

• Область определения функции: $D(f) = [-3; +\infty)$.
• Множество значений функции: $E(f) = [0; 3]$.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=-3$ и для всех $x \in [-1; 0]$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $f(x) > 0$ при $x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$.
  • $f(x) < 0$ на всей области определения нет.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках $[-3; -2]$ и $[0; +\infty)$.
  • Функция убывает на промежутке $[-2; -1]$.
  • Функция постоянна на промежутке $[-1; 0]$.
• Точки экстремума:
  • Точка максимума $x_{max} = -2$, максимум функции $y_{max} = 3$.
  • Точки минимума $x_{min}$: точка $x=-3$ и все точки отрезка $[-1; 0]$. Минимум функции $y_{min} = 0$.
• Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения $D(f)$ несимметрична относительно начала координат.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-3; +\infty)$.
• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=2$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Основные свойства функции: область определения $D(f) = [-3; +\infty)$; множество значений $E(f) = [0; 3]$; нули $x=-3$ и $x \in [-1; 0]$; $f(x)>0$ при $x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$; возрастает на $[-3; -2]$ и $[0; +\infty)$; убывает на $[-2; -1]$; постоянна на $[-1; 0]$; максимум $y_{max} = 3$ в точке $x=-2$; минимум $y_{min} = 0$ в точке $x=-3$ и на отрезке $[-1; 0]$.