Номер 23.23, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.23, страница 142.

Условие.

23.23 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -3(x + 2)^2 - 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ 4x, & \text{если } -1 < x \le 1. \end{cases}$

Постройте график функции $y = f(x)$ и определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$:

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала построим график функции $f(x)$, заданной кусочно: $f(x) = \begin{cases} -3(x + 2)^2 - 1, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ 4x, & \text{если } -1 < x \le 1. \end{cases}$

1. На отрезке $[-3, -1]$ функция задана формулой $y = -3(x + 2)^2 - 1$. Графиком является часть параболы. Так как коэффициент при $(x+2)^2$ отрицателен ($-3$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -2$. Ордината вершины: $y_0 = -3(-2 + 2)^2 - 1 = -1$. Точка $(-2, -1)$ является точкой максимума на этом участке. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(-3) = -3(-3 + 2)^2 - 1 = -3(1) - 1 = -4$. $f(-1) = -3(-1 + 2)^2 - 1 = -3(1) - 1 = -4$. Таким образом, на отрезке $[-3, -1]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-2, -1)$ и концами в точках $(-3, -4)$ и $(-1, -4)$.

2. На полуинтервале $(-1, 1]$ функция задана формулой $y = 4x$. Графиком является отрезок прямой, проходящей через начало координат. Найдем значения функции на концах этого интервала: При $x \to -1$ (справа), $y \to 4(-1) = -4$. Точка $(-1, -4)$ не включена в этот участок графика ("выколотая" точка). При $x = 1$, $y = 4(1) = 4$. Точка $(1, 4)$ включена в график.

Объединив оба участка, мы получаем полный график функции $y = f(x)$. Заметим, что в точке $x = -1$ график непрерывен, так как значение функции от первого участка $f(-1) = -4$ совпадает с предельным значением второго участка при $x \to -1$.

Теперь определим, при каких значениях параметра $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет то или иное количество корней. Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$.

а) имеет один корень. Уравнение имеет один корень, если прямая $y=p$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке. Анализируя график, видим, что это происходит, когда прямая пересекает только восходящий линейный участок. Это соответствует значениям $p$, которые больше ординаты вершины параболы ($y=-1$) и не превышают максимального значения функции на всем ее отрезке определения ($y=4$). Таким образом, одно решение существует при $-1 < p \le 4$.
Ответ: $p \in (-1, 4]$.

б) имеет два корня. Уравнение имеет два корня, если прямая $y=p$ пересекает график ровно в двух точках. Это происходит в двух случаях: 1. Прямая $y = -1$ проходит через вершину параболы в точке $(-2, -1)$ и пересекает линейный участок в точке, где $4x = -1$, т.е. $x = -1/4$. 2. Прямая $y = -4$ проходит через две точки на параболе: $(-3, -4)$ и $(-1, -4)$.
Ответ: $p = -4; p = -1$.

в) имеет три корня. Уравнение имеет три корня, если прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит, когда прямая расположена строго между уровнем концов параболы ($y=-4$) и уровнем ее вершины ($y=-1$). В этом случае прямая $y=p$ пересекает параболу в двух точках и линейный участок в одной точке. Это выполняется для всех $p$ из интервала $-4 < p < -1$.
Ответ: $p \in (-4, -1)$.

г) не имеет корней. Уравнение не имеет корней, если прямая $y=p$ не имеет с графиком $y=f(x)$ ни одной общей точки. Это происходит, когда прямая $y=p$ проходит ниже минимального значения функции ($y_{min}=-4$) или выше ее максимального значения ($y_{max}=4$).
Ответ: $p \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.