Номер 23.19, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.19, страница 141.

Условие.

23.19 Используя график функции $y = \frac{6}{x+2} - 1$:

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;

б) определите промежутки убывания функции;

в) укажите центр симметрии гиперболы;

г) напишите уравнения асимптот гиперболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$

Для того чтобы найти значения аргумента (x), при которых функция принимает определенные значения или имеет определенный знак, решим соответствующие уравнение и неравенства. Графически это соответствует нахождению точек пересечения графика с осью абсцисс, а также промежутков, где график функции лежит выше или ниже этой оси.

1. Найдем, при каком значении $x$ выполняется $y=0$ (пересечение с осью Ox):
$\frac{6}{x+2} - 1 = 0$
$\frac{6}{x+2} = 1$
При условии, что знаменатель $x+2 \neq 0$, домножим обе части на $x+2$:
$6 = x+2$
$x = 4$

2. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется $y>0$ (график выше оси Ox):
$\frac{6}{x+2} - 1 > 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6 - (x+2)}{x+2} > 0$
$\frac{4-x}{x+2} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4-x=0 \implies x=4$. Нули знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$.
Отметим точки -2 и 4 на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$, $(4, \infty)$.
- В интервале $(-2, 4)$, например при $x=0$, получаем $\frac{4-0}{0+2} = 2 > 0$. Этот интервал является решением.
- В интервалах $(-\infty, -2)$ и $(4, \infty)$ выражение будет отрицательным.
Следовательно, $y>0$ при $x \in (-2, 4)$.

3. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется $y<0$ (график ниже оси Ox):
$\frac{4-x}{x+2} < 0$
Из анализа, проведенного методом интервалов выше, следует, что неравенство выполняется на интервалах, где выражение отрицательно.
Следовательно, $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=4$; $y>0$ при $x \in (-2, 4)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

б) определите промежутки убывания функции

Функция $y = \frac{6}{x+2} - 1$ является преобразованием базовой гиперболы $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=6$. Поскольку $k=6>0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно ее асимптот. Такая функция убывает на всей своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Таким образом, область определения состоит из двух промежутков: $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

Функция убывает на каждом из этих промежутков. Это можно также проверить с помощью производной: $y' = (\frac{6}{x+2} - 1)' = -\frac{6}{(x+2)^2}$. Так как $(x+2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' < 0$ всегда. Отрицательная производная означает, что функция является убывающей.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; \infty)$.

в) укажите центр симметрии гиперболы

График функции $y = \frac{6}{x+2} - 1$ получен из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Центр симметрии для базовой гиперболы $y = \frac{6}{x}$ находится в точке $(0, 0)$. Соответственно, после сдвига центр симметрии переместится в точку $(0-2, 0-1)$, то есть в точку $(-2, -1)$.

Центр симметрии гиперболы является точкой пересечения её асимптот.

Ответ: центр симметрии гиперболы находится в точке $(-2; -1)$.

г) напишите уравнения асимптот гиперболы

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции при удалении его ветвей в бесконечность.

Вертикальная асимптота для функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ определяется условием, при котором знаменатель обращается в ноль. В нашем случае это $x+2=0$, откуда получаем уравнение вертикальной асимптоты: $x=-2$.

Горизонтальная асимптота определяется значением, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{6}{x+2} - 1\right)$.
Так как при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{6}{x+2} \to 0$, то предел равен $0 - 1 = -1$.
Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты: $y=-1$.

Ответ: уравнения асимптот: $x=-2$ и $y=-1$.