Номер 23.20, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.20, страница 141.

Условие.

23.20 Используя график функции $y = \sqrt{x + 1} - 2$, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) координаты точек пересечения графика с осями координат;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала представим, как выглядит график функции $y = \sqrt{x+1} - 2$. Этот график получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем двух преобразований:

• Сдвиг на 1 единицу влево по оси OX (получаем $y = \sqrt{x+1}$).
• Сдвиг на 2 единицы вниз по оси OY (получаем $y = \sqrt{x+1} - 2$).

Таким образом, график представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1; -2)$ и уходит вправо и вверх. Используя этот график (и аналитические расчеты для точности), ответим на вопросы.

а) область определения функции;

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Графически это проекция графика на ось абсцисс (OX). Так как график начинается в точке с абсциссой $x=-1$ и простирается вправо до бесконечности, область определения — это все значения $x \ge -1$.
Аналитически это условие вытекает из того, что выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным:
$x+1 \ge 0$
$x \ge -1$
Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

б) множество значений функции;

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Графически это проекция графика на ось ординат (OY). Самая нижняя точка графика имеет ординату $y=-2$, и от нее график уходит вверх до бесконечности. Следовательно, множество значений — это все $y \ge -2$.
Аналитически: известно, что $\sqrt{x+1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Тогда:
$y = \sqrt{x+1} - 2 \ge 0 - 2$
$y \ge -2$
Ответ: $E(y) = [-2; +\infty)$.

в) координаты точек пересечения графика с осями координат;

Точки пересечения графика с осями координат — это точки, где график пересекает ось OX или OY.
Пересечение с осью OY (осью ординат):
В этой точке абсцисса $x=0$. Подставляем это значение в уравнение функции:
$y = \sqrt{0+1} - 2 = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; -1)$.
Пересечение с осью OX (осью абсцисс):
В этой точке ордината $y=0$. Подставляем это значение в уравнение функции:
$0 = \sqrt{x+1} - 2$
$\sqrt{x+1} = 2$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$x+1 = 4$
$x = 3$.
Таким образом, точка пересечения с осью OX имеет координаты $(3; 0)$.
Ответ: с осью OY: $(0; -1)$; с осью OX: $(3; 0)$.

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Знаки функции определяются тем, где ее график расположен — выше или ниже оси OX.
При каких $x$ функция положительна ($y>0$)?
График функции находится выше оси OX справа от точки пересечения с ней. Точка пересечения — $(3; 0)$, значит, $y > 0$ при $x > 3$.
Решим неравенство аналитически:
$\sqrt{x+1} - 2 > 0 \implies \sqrt{x+1} > 2 \implies x+1 > 4 \implies x > 3$.

При каких $x$ функция отрицательна ($y<0$)?
График функции находится ниже оси OX между начальной точкой графика ($x=-1$) и точкой пересечения с осью ($x=3$). Таким образом, $y < 0$ при $-1 \le x < 3$.
Решим неравенство аналитически, не забывая про область определения ($x \ge -1$):
$\sqrt{x+1} - 2 < 0 \implies \sqrt{x+1} < 2 \implies 0 \le x+1 < 4 \implies -1 \le x < 3$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in [-1; 3)$.