Номер 23.15, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.15, страница 141.

Условие.

23.15 Для функции $y = 2(x - 1)^2 + 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке [0; 1];

б) на луче $[1; +\infty)$;

в) на отрезке [1; 2];

г) на луче $(-\infty; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данная функция $y = 2(x - 1)^2 + 3$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в каноническом виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

В нашем случае $a = 2$, $h = 1$, $k = 3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

Поскольку коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в точке вершины ($x = 1$) функция достигает своего глобального минимума, равного $y_{min} = 3$.

Также из свойств параболы следует, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Используем эти свойства для нахождения наименьших и наибольших значений на заданных промежутках.

---

а) на отрезке [0; 1]

Данный отрезок полностью лежит на промежутке убывания функции $(-\infty; 1]$. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=0$), а наименьшее — на правом конце ($x=1$), который совпадает с вершиной параболы.

Наибольшее значение:
$y_{наиб} = y(0) = 2(0 - 1)^2 + 3 = 2(-1)^2 + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.

Наименьшее значение:
$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 + 3 = 2(0)^2 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 5.

---

б) на луче [1; +∞)

Этот луч начинается в вершине параболы ($x=1$) и идёт вправо, то есть полностью совпадает с промежутком возрастания функции.

Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть в вершине:
$y_{наим} = y(1) = 3$.

Поскольку на этом луче функция неограниченно возрастает (при $x \to +\infty$, значение $y \to +\infty$), наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшего значения не существует.

---

в) на отрезке [1; 2]

Данный отрезок полностью лежит на промежутке возрастания функции $[1; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=1$), а наибольшее — на правом ($x=2$).

Наименьшее значение:
$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 + 3 = 3$.

Наибольшее значение:
$y_{наиб} = y(2) = 2(2 - 1)^2 + 3 = 2(1)^2 + 3 = 2 + 3 = 5$.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 5.

---

г) на луче (-∞; 0]

Данный луч полностью лежит на промежутке убывания функции $(-\infty; 1]$.

Поскольку функция на этом луче убывает, наименьшее значение она будет принимать в крайней правой точке луча ($x=0$).
$y_{наим} = y(0) = 2(0 - 1)^2 + 3 = 2(-1)^2 + 3 = 5$.

Поскольку на этом луче функция неограниченно возрастает (при $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$), наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 5, наибольшего значения не существует.