Номер 23.11, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.11, страница 138.

Условие.

23.11 a) $y = \sqrt{x + 1} + 2$;

б) $y = |x + 3| - 4$;

в) $y = \sqrt{x - 1} - 1$;

г) $y = |x - 2| + 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{x + 1} + 2$

Чтобы построить график данной функции, необходимо выполнить последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $f(x+a)$ получается сдвигом графика $f(x)$ на $|a|$ единиц влево, если $a > 0$, и вправо, если $a < 0$. График функции $f(x)+b$ получается сдвигом графика $f(x)$ на $|b|$ единиц вверх, если $b > 0$, и вниз, если $b < 0$.

1. Базовой функцией является $y = \sqrt{x}$. Её график — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0; 0)$.

2. Преобразование $x \rightarrow x+1$ соответствует сдвигу графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sqrt{x+1}$. Начальная точка графика смещается в $(-1; 0)$.

3. Прибавление константы 2 к функции, то есть $y = \sqrt{x+1} + 2$, соответствует сдвигу графика $y=\sqrt{x+1}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Начальная точка графика смещается в $(-1; 2)$.

Ответ: график функции $y = \sqrt{x + 1} + 2$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.

б) $y = |x + 3| - 4$

Построение графика этой функции выполняется аналогично с помощью преобразований графика базовой функции $y = |x|$.

1. Базовой функцией является $y = |x|$. Её график — две прямые $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0; 0)$.

2. Преобразование $x \rightarrow x+3$ соответствует сдвигу графика функции $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x+3|$. Вершина смещается в точку $(-3; 0)$.

3. Вычитание константы 4 из функции, то есть $y = |x+3| - 4$, соответствует сдвигу графика $y=|x+3|$ на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина смещается в точку $(-3; -4)$.

Ответ: график функции $y = |x + 3| - 4$ получается из графика функции $y = |x|$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз.

в) $y = \sqrt{x - 1} - 1$

Построение графика этой функции выполняется с помощью преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Базовой функцией является $y = \sqrt{x}$.

2. Преобразование $x \rightarrow x-1$ соответствует сдвигу графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sqrt{x-1}$. Начальная точка графика смещается в $(1; 0)$.

3. Вычитание константы 1 из функции, то есть $y = \sqrt{x-1} - 1$, соответствует сдвигу графика $y=\sqrt{x-1}$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Начальная точка графика смещается в $(1; -1)$.

Ответ: график функции $y = \sqrt{x - 1} - 1$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз.

г) $y = |x - 2| + 3$

Построение графика этой функции выполняется с помощью преобразований графика базовой функции $y = |x|$.

1. Базовой функцией является $y = |x|$.

2. Преобразование $x \rightarrow x-2$ соответствует сдвигу графика функции $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x-2|$. Вершина смещается в точку $(2; 0)$.

3. Прибавление константы 3 к функции, то есть $y = |x-2| + 3$, соответствует сдвигу графика $y=|x-2|$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина смещается в точку $(2; 3)$.

Ответ: график функции $y = |x - 2| + 3$ получается из графика функции $y = |x|$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.