Номер 23.10, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.10, страница 138.

Условие.

23.10 a) $y = -\frac{3}{x-1} + 2;$

б) $y = \frac{2}{x+3} - 4;$

в) $y = \frac{4}{x-5} - 1;$

г) $y = -\frac{5}{x+3} + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $y = -\frac{3}{x-1} + 2$.
Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График этой функции получается из графика функции $y = -\frac{3}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо по оси Оx и на 2 единицы вверх по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель дроби равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Горизонтальная асимптота определяется сдвигом по оси Oy:
$y = 2$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$D(y): x \neq 1$, или $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область значений $E(y)$ — все действительные числа, кроме значения горизонтальной асимптоты.
$E(y): y \neq 2$, или $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью OY подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = -\frac{3}{0-1} + 2 = 3 + 2 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 5)$.
Для нахождения точки пересечения с осью OX подставим $y=0$ в уравнение функции:
$0 = -\frac{3}{x-1} + 2 \implies \frac{3}{x-1} = 2 \implies 3 = 2(x-1) \implies 3 = 2x - 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.
Точка пересечения с осью OX: $(2.5; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=2$.

б) Дана функция $y = \frac{2}{x+3} - 4$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Оx и на 4 единицы вниз по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Горизонтальная асимптота: $y = -4$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y): x \neq -3$, или $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Область значений $E(y): y \neq -4$, или $y \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с OY ($x=0$):
$y(0) = \frac{2}{0+3} - 4 = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2-12}{3} = -\frac{10}{3}$. Точка: $(0; -10/3)$.
Пересечение с OX ($y=0$):
$0 = \frac{2}{x+3} - 4 \implies 4 = \frac{2}{x+3} \implies 4(x+3) = 2 \implies 4x + 12 = 2 \implies 4x = -10 \implies x = -2.5$.
Точка: $(-2.5; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-3$, горизонтальная асимптота: $y=-4$.

в) Дана функция $y = \frac{4}{x-5} - 1$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 5 единиц вправо по оси Оx и на 1 единицу вниз по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.
Горизонтальная асимптота: $y = -1$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y): x \neq 5$, или $x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.
Область значений $E(y): y \neq -1$, или $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с OY ($x=0$):
$y(0) = \frac{4}{0-5} - 1 = -\frac{4}{5} - 1 = -\frac{9}{5}$. Точка: $(0; -1.8)$.
Пересечение с OX ($y=0$):
$0 = \frac{4}{x-5} - 1 \implies 1 = \frac{4}{x-5} \implies x-5 = 4 \implies x = 9$.
Точка: $(9; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=5$, горизонтальная асимптота: $y=-1$.

г) Дана функция $y = -\frac{5}{x+3} + 3$.
График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = -\frac{5}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Оx и на 3 единицы вверх по оси Оy.
1. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Горизонтальная асимптота: $y = 3$.
2. Область определения и область значений.
Область определения $D(y): x \neq -3$, или $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Область значений $E(y): y \neq 3$, или $y \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с OY ($x=0$):
$y(0) = -\frac{5}{0+3} + 3 = -\frac{5}{3} + 3 = \frac{-5+9}{3} = \frac{4}{3}$. Точка: $(0; 4/3)$.
Пересечение с OX ($y=0$):
$0 = -\frac{5}{x+3} + 3 \implies \frac{5}{x+3} = 3 \implies 5 = 3(x+3) \implies 5 = 3x + 9 \implies 3x = -4 \implies x = -4/3$.
Точка: $(-4/3; 0)$.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-3$, горизонтальная асимптота: $y=3$.