Номер 23.9, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.9, страница 138.

Условие.

23.9 a) $y = \frac{3}{x+5} + 2;$

б) $y = -\frac{1}{x-3} + 4;$

в) $y = \frac{1}{x+4} - 1;$

г) $y = -\frac{1}{x-1} - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \frac{3}{x+5} + 2$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = \frac{3}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 5 единиц влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота — прямая, при приближении $x$ к которой функция стремится к бесконечности. Это происходит, когда знаменатель равен нулю. Уравнение вертикальной асимптоты: $x = -5$.

   Горизонтальная асимптота — прямая, к которой стремится график функции при $x \to \pm\infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{3}{x+5}$ стремится к нулю, и тогда $y$ стремится к 2. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 2$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Из-за наличия горизонтальной асимптоты $y=2$, функция принимает все значения, кроме 2.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью ординат (Oy), где $x=0$:

     $y(0) = \frac{3}{0+5} + 2 = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5} = 2.6$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2.6)$.

   • С осью абсцисс (Ox), где $y=0$:

     $0 = \frac{3}{x+5} + 2 \implies \frac{3}{x+5} = -2 \implies 3 = -2(x+5) \implies 3 = -2x - 10 \implies 2x = -13 \implies x = -6.5$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(-6.5; 0)$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = -5$, горизонтальная $y = 2$.
Пересечение с Oy: $(0; 2.6)$.
Пересечение с Ox: $(-6.5; 0)$.

---

б) $y = -\frac{1}{x-3} + 4$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = -\frac{1}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота: $x = 3$.

   Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{1}{x-3} \to 0$, поэтому $y \to 4$. Уравнение: $y = 4$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью Oy ($x=0$):

     $y(0) = -\frac{1}{0-3} + 4 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; \frac{13}{3})$.

   • С осью Ox ($y=0$):

     $0 = -\frac{1}{x-3} + 4 \implies \frac{1}{x-3} = 4 \implies 1 = 4(x-3) \implies 1 = 4x - 12 \implies 4x = 13 \implies x = \frac{13}{4} = 3.25$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(3.25; 0)$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = 3$, горизонтальная $y = 4$.
Пересечение с Oy: $(0; \frac{13}{3})$.
Пересечение с Ox: $(3.25; 0)$.

---

в) $y = \frac{1}{x+4} - 1$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 4 единицы влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота: $x = -4$.

   Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{1}{x+4} \to 0$, поэтому $y \to -1$. Уравнение: $y = -1$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью Oy ($x=0$):

     $y(0) = \frac{1}{0+4} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} = -0.75$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; -0.75)$.

   • С осью Ox ($y=0$):

     $0 = \frac{1}{x+4} - 1 \implies \frac{1}{x+4} = 1 \implies x+4 = 1 \implies x = -3$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = -4$, горизонтальная $y = -1$.
Пересечение с Oy: $(0; -0.75)$.
Пересечение с Ox: $(-3; 0)$.

---

г) $y = -\frac{1}{x-1} - 1$

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола. График можно получить из графика функции $y = -\frac{1}{x}$ с помощью параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

1. Область определения функции (D(y)):

   Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

   Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты графика:

   Вертикальная асимптота: $x = 1$.

   Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{1}{x-1} \to 0$, поэтому $y \to -1$. Уравнение: $y = -1$.

3. Область значений функции (E(y)):

   Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты.

   Таким образом, область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью Oy ($x=0$):

     $y(0) = -\frac{1}{0-1} - 1 = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$.

     Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.

   • С осью Ox ($y=0$):

     $0 = -\frac{1}{x-1} - 1 \implies -1 = \frac{1}{x-1} \implies -(x-1) = 1 \implies -x+1=1 \implies x=0$.

     Точка пересечения с осью Ox: $(0; 0)$.

     График проходит через начало координат.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная $x = 1$, горизонтальная $y = -1$.
Пересечение с осями координат: в точке $(0; 0)$ (начало координат).