Номер 23.12, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.12, страница 139.

Условие.

23.12 Напишите уравнение параболы $y = a(x + l)^2 + m$, изображённой:

а) на рис. 57;

б) на рис. 58;

в) на рис. 59;

г) на рис. 60.

Рис. 57

Рис. 58

Рис. 59

Рис. 60

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Общий вид уравнения параболы, предложенный в задании, — это $ y = a(x + l)^2 + m $. Вершина такой параболы находится в точке с координатами $ (-l, m) $. Коэффициент $ a $ определяет направление ветвей параболы (вверх при $ a > 0 $ и вниз при $ a < 0 $) и степень её "сжатия" или "растяжения" вдоль оси $ y $.

а) На рис. 57 изображена парабола с вершиной в точке $ (-2, 2) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = -2 $, откуда $ l = 2 $, и $ m = 2 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x + 2)^2 + 2 $.
Ветви параболы направлены вниз, значит, $ a < 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, принадлежащую параболе, например, $ (-1, -2) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -2 = a(-1 + 2)^2 + 2 $
$ -2 = a \cdot 1^2 + 2 $
$ -2 = a + 2 $
$ a = -4 $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = -4(x + 2)^2 + 2 $.
Ответ: $ y = -4(x + 2)^2 + 2 $

б) На рис. 58 изображена парабола с вершиной в точке $ (3, -5) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = 3 $, откуда $ l = -3 $, и $ m = -5 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x - 3)^2 - 5 $.
Ветви параболы направлены вверх, значит, $ a > 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, например, $ (5, -1) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -1 = a(5 - 3)^2 - 5 $
$ -1 = a \cdot 2^2 - 5 $
$ -1 = 4a - 5 $
$ 4a = 4 $
$ a = 1 $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = (x - 3)^2 - 5 $.
Ответ: $ y = (x - 3)^2 - 5 $

в) На рис. 59 изображена парабола с вершиной в точке $ (4, 9) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = 4 $, откуда $ l = -4 $, и $ m = 9 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x - 4)^2 + 9 $.
Ветви параболы направлены вниз, значит, $ a < 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, например, $ (2, -3) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -3 = a(2 - 4)^2 + 9 $
$ -3 = a \cdot (-2)^2 + 9 $
$ -3 = 4a + 9 $
$ 4a = -12 $
$ a = -3 $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = -3(x - 4)^2 + 9 $.
Ответ: $ y = -3(x - 4)^2 + 9 $

г) На рис. 60 изображена парабола с вершиной в точке $ (-3, -3) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = -3 $, откуда $ l = 3 $, и $ m = -3 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x + 3)^2 - 3 $.
Ветви параболы направлены вверх, значит, $ a > 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, например, $ (-1, -1) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -1 = a(-1 + 3)^2 - 3 $
$ -1 = a \cdot 2^2 - 3 $
$ -1 = 4a - 3 $
$ 4a = 2 $
$ a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 3 $.
Ответ: $ y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 3 $