Номер 23.16, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.16, страница 141.

Условие.

23.16 Для функции $y = \frac{3}{x+1} - 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[0; 2]$;

б) на луче $[0; +\infty)$;

в) на отрезке $[2; 5]$;

г) на луче $(-\infty; -2]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{3}{x+1} - 3$ на заданных промежутках, исследуем её на монотонность. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x = -1$, т.е. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{3}{x+1} - 3\right)' = (3(x+1)^{-1} - 3)' = 3 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot (x+1)' - 0 = -\frac{3}{(x+1)^2}$.

Поскольку $(x+1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{3}{(x+1)^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

На убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой границе отрезка (в точке $a$), а наименьшее — в правой (в точке $b$).

а) на отрезке [0; 2]

Отрезок $[0; 2]$ полностью лежит в интервале $(-1; +\infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает при $x=0$, а наименьшее — при $x=2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{3}{0+1} - 3 = 3 - 3 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \frac{3}{2+1} - 3 = \frac{3}{3} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $0$.

б) на луче [0; +∞)

Луч $[0; +\infty)$ также лежит в интервале $(-1; +\infty)$, где функция убывает. Наибольшее значение достигается в самой левой точке луча, то есть при $x=0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{3}{0+1} - 3 = 0$.

Так как функция убывает на этом луче, при $x \to +\infty$ значение функции стремится к своей горизонтальной асимптоте $y=-3$. То есть $y \to -3$ сверху, но никогда этого значения не достигает. Таким образом, множество значений функции на этом луче — это полуинтервал $(-3; 0]$. Наименьшего значения у функции на этом луче нет.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [2; 5]

Отрезок $[2; 5]$ также находится в интервале $(-1; +\infty)$, где функция убывает. Наибольшее значение будет при $x=2$, а наименьшее — при $x=5$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = \frac{3}{2+1} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = \frac{3}{5+1} - 3 = \frac{3}{6} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$.

Ответ: наименьшее значение $-2.5$, наибольшее значение $-2$.

г) на луче (−∞; −2]

Луч $(-\infty; -2]$ лежит в интервале $(-\infty; -1)$, на котором функция также убывает. На убывающей функции меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Правая граница луча — точка $x=-2$. В этой точке функция примет свое наименьшее значение на данном луче, так как для любого $x \le -2$ будет выполняться $y(x) \ge y(-2)$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = \frac{3}{-2+1} - 3 = \frac{3}{-1} - 3 = -3 - 3 = -6$.

При $x \to -\infty$ значение функции стремится к горизонтальной асимптоте $y=-3$. Значения функции на этом луче составляют промежуток $[-6; -3)$. Таким образом, функция ограничена сверху числом $-3$, но никогда его не достигает. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $-6$, наибольшего значения не существует.