Номер 23.7, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Как построить график функции у = f(х + l) + m, если известен график функции y = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 23.7, страница 138.

Условие.

Постройте график функции:

23.7 а) $y = (x + 1)^2 - 2;$

б) $y = -(x + 3)^2 + 1;$

в) $y = -(x - 4)^2 + 3;$

г) $y = (x - 2)^2 - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Для построения графика функции $y = (x + 1)^2 - 2$ используется метод геометрических преобразований графика базовой функции $y = x^2$.
Уравнение функции представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы. В данном случае $a = 1$, $h = -1$, $k = -2$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины находятся в точке $(h, k) = (-1, -2)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Ось симметрии. Вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = h$, то есть $x = -1$.

4. Ключевые точки для построения.
- Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$: $y = (0 + 1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- Найдем точки пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$: $0 = (x + 1)^2 - 2 \Rightarrow (x + 1)^2 = 2 \Rightarrow x + 1 = \pm\sqrt{2} \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$. Точки $(-1 - \sqrt{2}, 0)$ и $(-1 + \sqrt{2}, 0)$.
- Для более точного построения найдем еще одну пару симметричных точек. Возьмем $x=1$: $y = (1+1)^2-2 = 4-2=2$. Точка $(1, 2)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ имеет абсциссу $x=-3$ и ту же ординату, то есть $(-3, 2)$.

Построение графика заключается в том, чтобы нанести на координатную плоскость вершину и найденные точки, а затем соединить их плавной кривой.

Ответ: График функции — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу влево по оси абсцисс и на 2 единицы вниз по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(-1, -2)$, ветви направлены вверх.

б)

График функции $y = -(x + 3)^2 + 1$ — это парабола. Уравнение представлено в форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = -3$, $k = 1$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(h, k) = (-3, 1)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Ось симметрии. Прямая $x = h$, то есть $x = -3$.

4. Ключевые точки для построения.
- Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -(0 + 3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8$. Точка $(0, -8)$.
- Пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$): $0 = -(x + 3)^2 + 1 \Rightarrow (x + 3)^2 = 1 \Rightarrow x + 3 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = -3 - 1 = -4$ и $x_2 = -3 + 1 = -2$. Точки $(-4, 0)$ и $(-2, 0)$.

График строится на основе параболы $y = -x^2$ (ветви вниз, вершина в начале координат) путем ее сдвига. Сдвигаем график $y = -x^2$ на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(-3, 1)$ и ветвями, направленными вниз. График получен из параболы $y=-x^2$ сдвигом на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

в)

График функции $y = -(x - 4)^2 + 3$ — это парабола. Уравнение представлено в форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -1$, $h = 4$, $k = 3$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(h, k) = (4, 3)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Ось симметрии. Прямая $x = h$, то есть $x = 4$.

4. Ключевые точки для построения.
- Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -(0 - 4)^2 + 3 = -16 + 3 = -13$. Точка $(0, -13)$.
- Пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$): $0 = -(x - 4)^2 + 3 \Rightarrow (x - 4)^2 = 3 \Rightarrow x - 4 = \pm\sqrt{3} \Rightarrow x = 4 \pm \sqrt{3}$. Точки $(4 - \sqrt{3}, 0)$ и $(4 + \sqrt{3}, 0)$.
- Дополнительные точки: при $x=3$, $y=-(3-4)^2+3 = 2$. Точка $(3,2)$. Симметричная ей точка — $(5,2)$.

График получается из параболы $y=-x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(4, 3)$ и ветвями, направленными вниз. График получен из параболы $y=-x^2$ сдвигом на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

г)

График функции $y = (x - 2)^2 - 5$ — это парабола. Уравнение представлено в форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = 1$, $h = 2$, $k = -5$.

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(h, k) = (2, -5)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = 1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Ось симметрии. Прямая $x = h$, то есть $x = 2$.

4. Ключевые точки для построения.
- Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = (0 - 2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- Пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$): $0 = (x - 2)^2 - 5 \Rightarrow (x - 2)^2 = 5 \Rightarrow x - 2 = \pm\sqrt{5} \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{5}$. Точки $(2 - \sqrt{5}, 0)$ и $(2 + \sqrt{5}, 0)$.
- Точка, симметричная $(0, -1)$ относительно оси $x=2$, имеет абсциссу $x=4$ и ту же ординату, то есть $(4, -1)$.

График получается из параболы $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 5 единиц вниз по оси Oy.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(2, -5)$ и ветвями, направленными вверх. График получен сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз.