Номер 22.42, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.42, страница 137.

Условие.

22.42 a) Используя графики функций $y = -x^2 + 4$ и $y = x + 2$, решите неравенство $x + 2 \le -x^2 + 4$.

б) Используя графики функций $y = x^2 - 2$ и $y = -|x| + 4$, решите неравенство $x^2 - 2 < -|x| + 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить неравенство $x + 2 \le -x^2 + 4$ графически, нужно построить графики функций $y = x + 2$ (прямая) и $y = -x^2 + 4$ (парабола) и найти, на каких промежутках по оси $x$ график прямой находится не выше графика параболы.

1. Построим график функции $y = -x^2 + 4$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = -0^2 + 4 = 4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.

2. Построим график функции $y = x + 2$. Это прямая. Для построения достаточно двух точек, например, $(0; 2)$ и $(-2; 0)$.

3. Найдем точки пересечения графиков. для этого приравняем правые части уравнений:

$x + 2 = -x^2 + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x + 2 - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

4. Графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 1$. Парабола $y = -x^2 + 4$ направлена ветвями вниз, а прямая $y = x + 2$ является возрастающей. Следовательно, на промежутке между точками пересечения график параболы будет находиться выше графика прямой. Неравенство $x + 2 \le -x^2 + 4$ выполняется, когда график прямой находится ниже или на том же уровне, что и график параболы. Это происходит на отрезке между точками пересечения, включая сами точки.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-2; 1]$.

Ответ: $x \in [-2; 1]$.

б) Чтобы решить неравенство $x^2 - 2 < -|x| + 4$ графически, нужно построить графики функций $y = x^2 - 2$ (парабола) и $y = -|x| + 4$ и найти, на каких промежутках по оси $x$ график параболы находится строго ниже графика функции с модулем.

1. Построим график функции $y = x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -2)$. Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2 = x^2 - 2 = f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси $Oy$.

2. Построим график функции $y = -|x| + 4$. Этот график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0; 4)$.

При $x \ge 0$, $y = -x + 4$.

При $x < 0$, $y = -(-x) + 4 = x + 4$.

Эта функция также является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

3. Найдем точки пересечения графиков. В силу симметрии обеих функций, достаточно найти точку пересечения для $x \ge 0$ и затем отразить ее относительно оси $Oy$.

При $x \ge 0$, решаем уравнение:

$x^2 - 2 = -x + 4$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нам подходит только корень $x = 2$.

В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -2$.

4. Графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$. Парабола $y = x^2 - 2$ имеет вершину в $(0; -2)$, а график $y = -|x| + 4$ имеет вершину в $(0; 4)$. На интервале между точками пересечения $(-2; 2)$ график параболы будет находиться ниже графика функции с модулем. Поскольку неравенство строгое (<), сами точки пересечения в решение не входят.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.