Номер 22.41, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 22. Как построить график функции у = f(х) + m, если известен график функции у = f(х). Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 22.41, страница 137.

Условие.

22.41 Постройте график функции:

a) $y = \sqrt{-x} - 1;$

б) $y = -\sqrt{-x} + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{-x} - 1$

Для построения графика функции $y = \sqrt{-x} - 1$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Построим график функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, выходящая из начала координат. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2).
2. Построим график функции $y_2 = \sqrt{-x}$. Этот график получается из графика $y_1 = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Область определения функции: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Ключевые точки: (0, 0), (-1, 1), (-4, 2).
3. Построим искомый график функции $y = \sqrt{-x} - 1$. Этот график получается из графика $y_2 = \sqrt{-x}$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

Найдем несколько контрольных точек для построения:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка (0, -1). Это начало (вершина) графика.
• Если $x = -1$, то $y = \sqrt{-(-1)} - 1 = \sqrt{1} - 1 = 0$. Точка (-1, 0).
• Если $x = -4$, то $y = \sqrt{-(-4)} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка (-4, 1).
• Если $x = -9$, то $y = \sqrt{-(-9)} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка (-9, 2).

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. Область определения $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений $E(y) = [-1, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-x} - 1$ является ветвью параболы, которая получена из графика $y = \sqrt{x}$ путем отражения относительно оси $Oy$ и последующего сдвига на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Вершина графика находится в точке (0, -1), ветви направлены влево и вверх.

б) $y = -\sqrt{-x} + 1$

Для построения графика функции $y = -\sqrt{-x} + 1$ также используем метод преобразований, начиная с графика $y = \sqrt{x}$.

1. Построим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$.
2. Построим график функции $y_2 = \sqrt{-x}$ путем отражения графика $y_1$ относительно оси $Oy$.
3. Построим график функции $y_3 = -\sqrt{-x}$. Этот график получается из графика $y_2 = \sqrt{-x}$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$.
4. Построим искомый график функции $y = -\sqrt{-x} + 1$. Этот график получается из графика $y_3 = -\sqrt{-x}$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Найдем несколько контрольных точек для построения:

• Если $x = 0$, то $y = -\sqrt{0} + 1 = 1$. Точка (0, 1). Это начало (вершина) графика.
• Если $x = -1$, то $y = -\sqrt{-(-1)} + 1 = -\sqrt{1} + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка (-1, 0).
• Если $x = -4$, то $y = -\sqrt{-(-4)} + 1 = -\sqrt{4} + 1 = -2 + 1 = -1$. Точка (-4, -1).
• Если $x = -9$, то $y = -\sqrt{-(-9)} + 1 = -\sqrt{9} + 1 = -3 + 1 = -2$. Точка (-9, -2).

Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график. Область определения $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений $E(y) = (-\infty, 1]$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt{-x} + 1$ является ветвью параболы, полученной из графика $y=\sqrt{x}$ путем симметричного отражения сначала относительно оси $Oy$, затем относительно оси $Ox$, и последующим сдвигом на 1 единицу вверх. Вершина графика находится в точке (0, 1), ветви направлены влево и вниз.